Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi HSGQG THPT - Vĩnh Long - 2026-2027 - Môn Toán (Buổi thứ nhất) - Đề Số 1

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi:
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{2}\\ u_{n+1}=\frac{\sqrt{u_n^2+4u_n}+u_n}{2}\end{array}(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$$
Đặt $v_n=\sum _{i=1}^n\frac{1}{u_i^2}(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$. Chứng minh rằng dãy số $(v_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

a) Giải phương trình $\sqrt{(x-3)(x+5)}+\sqrt{x-3}+\sqrt{x+5}=\frac{10-x}{2}+\sqrt{x+12}$.

b) Giải hệ phương trình
$$\{\begin{array}{l}{x}^3-x^{2}y=x^2-x+y+1\\ 5\sqrt{x+2}+\sqrt{y+3}=3x^2-y+1\end{array}$$

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P):y^2=4x$. Gọi $M$ là điểm di động trên $(P)$, $T$ là điểm trên $(P)$ sao cho $OT\perp OM$ ($M$ và $T$ đều không trùng với $O$). Chứng minh rằng khi $M$ di động trên $(P)$ thì đường thẳng $MT$ luôn đi qua một điểm cố định và đồng thời trung điểm của đoạn thẳng $MT$ luôn chạy trên một parabol cố định.

Cho bảng ô vuông kích thước $2\times 4$ gồm 8 ô vuông. Sử dụng 4 màu khác nhau để tô cho 8 ô sao cho mỗi ô chỉ được tô đúng một màu. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu thỏa mãn trong các cặp ô vuông có chung cạnh, có đúng một cặp được tô cùng màu, còn tất cả các cặp chung cạnh khác đều được tô khác màu?