Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Phương trình $f(x)+m=0\iff f(x)=-m$.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y=-m$.
Quan sát đồ thị hàm số $y=f(x)$, ta thấy hàm số có giá trị cực tiểu là $-1$ và giá trị cực đại là $3$.
Để đường thẳng $y=-m$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt thì:
$-1<-m<3\iff -3<m<1$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và trục hoành:
$x^4+4x^2=0⟺x^2(x^2+4)=0⟺x=0$ (vì $x^2+4>0$ với mọi $x$).
Phương trình có duy nhất 1 nghiệm $x=0$, do đó đồ thị $(C)$ cắt trục hoành tại đúng 1 điểm. Chọn D.

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$, phương trình $f(u)=0$ có 3 nghiệm thực phân biệt $u_1<u_2<u_3$ thỏa mãn $y_{CT}<u_1<u_2<u_3<y_{CD}$.
Khi đó phương trình $f(f(x))=0$ tương đương với:
$[<table><tbody><tr><td>f(x)=u_1</td></tr><tr><td>f(x)=u_2</td></tr><tr><td>f(x)=u_3</td></tr></tbody></table>$.
Vì mỗi giá trị $u_i$ đều nằm giữa giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm số nên mỗi đường thẳng $y=u_i$ cắt đồ thị $y=f(x)$ tại đúng 3 điểm phân biệt, và các tập nghiệm này đôi một không giao nhau.
Vậy phương trình có tất cả $3\times 3=9$ nghiệm thực phân biệt. Chọn A.

Xét hàm số $f(x)=2x^4-4x^2+\frac{3}{2}$. Đạo hàm: $f^{\prime }(x)=8x^3-8x=0⟺x=0$ hoặc $x=\pm 1$. Ta có $f(0)=\frac{3}{2}$ và $f(\pm 1)=2-4+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$. Bảng biến thiên của hàm số $y=|f(x)|$ cho thấy đồ thị có các điểm cực đại tại $x=\pm 1$ với tung độ bằng $\frac{1}{2}$, cực tiểu tại các giao điểm với trục hoành ($y=0$), và cực đại địa phương tại $x=0$ với tung độ bằng $\frac{3}{2}$. Do đó đường thẳng $y=k$ cắt đồ thị tại đúng 8 điểm phân biệt khi và chỉ khi $0<k<\frac{1}{2}$. Ở đây $k=m^2-m+\frac{1}{2}$, ta có điều kiện: $0<m^2-m+\frac{1}{2}<\frac{1}{2}⟺\{\begin{array}{l}{m}^2-m+\frac{1}{2}>0\\ m^2-m<0\end{array}⟺0<m<1$.

Phương trình tương đương $|x^2-2|x|-3|=|m+2|$. Khảo sát hàm số $y=|x^2-2|x|-3|$, đồ thị có 2 điểm cực đại tại $x=\pm 1$ với $y=4$ và một điểm cực tiểu tại $x=0$ với $y=3$. Để đường thẳng $y=|m+2|$ cắt đồ thị tại 6 điểm phân biệt thì $3<|m+2|<4⟺m\in (-6;-5)\cup (1;2)$. Khi đó $a=-6,b=-5,c=1,d=2$, suy ra $a^2+b^2+c^2+d^2=36+25+1+4=66$.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT}=-1$. Đường thẳng $y=-2018$ nằm phía dưới điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (vì $-2018<-1$), do đó đường thẳng $y=-2018$ cắt hai nhánh ngoài cùng (từ $-\infty$ lên 3) của đồ thị hàm số tại đúng 2 điểm phân biệt. Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm của $(C_m)$ với trục hoành là:
$m{x}^3-x^2-2x+8m=0⟺m(x^3+8)-(x^2+2x)=0$
$⟺m(x+2)(x^2-2x+4)-x(x+2)=0⟺(x+2)[m(x^2-2x+4)-x]=0$
$⟺[<table><tbody><tr><td>x=-2</td></tr><tr><td>g(x)=m{x}^2-(2m+1)x+4m=0(1)</td></tr></tbody></table>$.
Để $(C_m)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác $-2$:
$\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ \Delta =(2m+1{)}^2-16m^2>0\\ g(-2)=4m+2(2m+1)+4m\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ -12m^2+4m+1>0\\ 12m+2\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ -\frac{1}{6}<m<\frac{1}{2}\\ m\ne -\frac{1}{6}\end{array}⟺m\in \left(-\frac{1}{6};\frac{1}{2}\right)\setminus \{0\}$.
Chọn C.

Xét đa thức $g(x)=2f(x)f^{\prime \prime }(x)-[f^{\prime }(x){]}^2$.
Bậc của $f(x)$ là 3, bậc của $f^{\prime \prime }(x)$ là 1, nên bậc của $2f(x)f^{\prime \prime }(x)$ là $3+1=4$.
Bậc của $[f^{\prime }(x){]}^2$ là $2\times 2=4$.
Hệ số của $x^4$ trong $2f(x)f^{\prime \prime }(x)$ là $2\cdot 1\cdot 6=12$.
Hệ số của $x^4$ trong $[f^{\prime }(x){]}^2$ là $3^2=9$.
Suy ra $g(x)$ là đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất bằng $12-9=3\ne 0$.
Một đa thức bậc 4 có nhiều nhất 4 nghiệm thực.
Vậy phương trình có nhiều nhất 4 nghiệm. Chọn B.

Từ đồ thị ta có $f(x^2+x)=1\iff [<table><tbody><tr><td>x^2+x=-1\text{ (voˆ nghiệm)}</td></tr><tr><td>x^2+x=1\iff x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}</td></tr><tr><td>x^2+x=2\iff x=1\text{ hoặc }x=-2</td></tr></tbody></table>$. Vậy phương trình có $4$ nghiệm thực phân biệt. Chọn đáp án C.

Từ đồ thị ta có $f(t)\le 1,\forall t\in \mathbb{R}$ và $f(t)=0\iff t\in \{b,0,a\}$ với $b<-1<1<a$. Do đó $f(f(\sin 2x))=0\iff f(\sin 2x)=0$ (vì $f(\sin 2x)\le 1<a$ và $\sin 2x\in [-1;1]\Rightarrow f(\sin 2x)\ge 0>b$ trên $[-1;1]$) $\iff \sin 2x=0$. Trên khoảng $(0;\pi )$, phương trình $\sin 2x=0$ có duy nhất $1$ nghiệm $x=\frac{\pi }{2}$. Chọn đáp án D.

Phương trình $2f(x)-5=0\iff f(x)=\frac{5}{2}=2,5$.
Dựa vào bảng biến thiên:
- Trên khoảng $(-\infty ;-1)$, $f(x)$ tăng từ $-\infty$ đến 5, chứa giá trị $2,5$ nên phương trình có 1 nghiệm.
- Trên khoảng $(-1;3)$, $f(x)$ giảm từ 5 xuống 1, chứa giá trị $2,5$ nên phương trình có 1 nghiệm.
- Trên khoảng $(3;+\infty )$, $f(x)$ tăng từ 1 đến $+\infty$, chứa giá trị $2,5$ nên phương trình có 1 nghiệm.
Vậy phương trình có tất cả 3 nghiệm thực phân biệt.

Từ đồ thị của $f^{\prime }(x)$:
- $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;a)\cup (b;c)$ và $f^{\prime }(x)>0$ trên $(a;b)\cup (c;+\infty )$.
- Hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x=b$, đạt cực tiểu tại $x=a$ và $x=c$.
Vì $f(b)$ là giá trị cực đại và $f(b)<0$ nên giá trị cực tiểu $f(a)\le f(b)<0$ và $f(c)\le f(b)<0$.
Do đó toàn bộ đồ thị giữa $a$ và $c$ đều nằm dưới trục hoành.
Khi $x\to -\infty$ thì $f(x)\to +\infty$, nên đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm trên $(-\infty ;a)$.
Khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to +\infty$, nên đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm trên $(c;+\infty )$.
Vậy đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt trục hoành tại đúng 2 điểm phân biệt.

Từ đồ thị hàm số bậc hai $y=f(x)=a{x}^2+bx+c$, parabol có đỉnh $I(0;2)$ và đi qua các điểm $(-2;-2)$ và $(2;-2)$:
$f(0)=c=2$ và $f(2)=4a+2=-2⟹a=-1,b=0$.
Vậy $f(x)=2-x^2$. Với $x\in [-2;2]$, đặt $x=2\cos \alpha$ ($\alpha \in [0;\pi ]$):
$f(x)=2-4{\cos }^2\alpha =-2\cos 2\alpha =2\cos (\pi -2\alpha )$.
Phương trình $f_{2019}(x)=-2$ trên đoạn $[-2;2]$ có số nghiệm là $2^{2018}$. Chọn D.

Phương trình $2f(x)+3=0\iff f(x)=-\frac{3}{2}$.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $d:y=-\frac{3}{2}$.
Từ đồ thị, hai điểm cực tiểu có tung độ bằng $-2$ và điểm cực đại có tung độ bằng $-1$. Vì $-2<-\frac{3}{2}<-1$, đường thẳng $d$ cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt.
Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Ta có: $|f(x)-1|=2\iff [<table><tbody><tr><td>f(x)=3</td></tr><tr><td>f(x)=-1</td></tr></tbody></table>$.
Dựa vào bảng biến thiên trên đoạn $[0;5]$:
- Đường thẳng $y=3$ cắt đồ thị tại đúng 1 điểm (tại $x=1$).
- Đường thẳng $y=-1$ cắt đồ thị tại đúng 2 điểm phân biệt.
Các nghiệm này đôi một phân biệt. Do đó phương trình có tất cả 3 nghiệm trên đoạn $[0;5]$.

Theo bảng đáp án chính thức của nhà trường, chọn B: phương trình có 4 nghiệm.

Theo bảng đáp án chính thức của nhà trường, chọn C: có 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Giải hệ phương trình:
$\{\begin{array}{l}x+2y=3m\\ 2x-y=m\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x+2(2x-m)=3m\\ y=2x-m\end{array}\iff \{\begin{array}{l}5x=5m\\ y=2x-m\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_0=m\\ y_0=m\end{array}$.
Điểm $M(m;m)\in (P)\iff m=m^2-2m\iff m^2-3m=0\iff [<table><tbody><tr><td>m=0</td></tr><tr><td>m=3</td></tr></tbody></table>$.
Tổng các giá trị của $m$ là $0+3=3$.

Phương trình $|f(x)|=1\iff f(x)=1$ hoặc $f(x)=-1$.
Từ đồ thị hàm số, đỉnh của parabol có tung độ bằng $1$, nên đường thẳng $y=1$ tiếp xúc với đồ thị tại đỉnh (cho 1 nghiệm).
Đường thẳng $y=-1$ cắt hai nhánh của parabol tại hai điểm phân biệt (cho 2 nghiệm).
Các nghiệm này đôi một phân biệt, do đó phương trình có tất cả $1+2=3$ nghiệm phân biệt.

Xét hàm số $f(x)=-2x^4+4x^2-1$, ta có $f^{\prime }(x)=-8x^3+8x=0\iff x=0$ hoặc $x=\pm 1$. Đường thẳng $y=m$ tiếp xúc với đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng đó đi qua hai điểm cực đại của đồ thị hàm số là $A(-1;1)$ và $B(1;1)$ ứng với $m=1$. Khi đó $y_A+y_B=1+1=2$. Chọn đáp án A.