Cho hàm số $y=\left|2x^4-4x^2+\frac{3}{2}\right|$. Giá trị thực của $m$ để phương trình $\left|2x^4-4x^2+\frac{3}{2}\right|=m^2-m+\frac{1}{2}$ có đúng $8$ nghiệm thực phân biệt là:

Xét hàm số $f(x)=2x^4-4x^2+\frac{3}{2}$. Đạo hàm: $f^{\prime }(x)=8x^3-8x=0⟺x=0$ hoặc $x=\pm 1$. Ta có $f(0)=\frac{3}{2}$ và $f(\pm 1)=2-4+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$. Bảng biến thiên của hàm số $y=|f(x)|$ cho thấy đồ thị có các điểm cực đại tại $x=\pm 1$ với tung độ bằng $\frac{1}{2}$, cực tiểu tại các giao điểm với trục hoành ($y=0$), và cực đại địa phương tại $x=0$ với tung độ bằng $\frac{3}{2}$. Do đó đường thẳng $y=k$ cắt đồ thị tại đúng 8 điểm phân biệt khi và chỉ khi $0<k<\frac{1}{2}$. Ở đây $k=m^2-m+\frac{1}{2}$, ta có điều kiện: $0<m^2-m+\frac{1}{2}<\frac{1}{2}⟺\{\begin{array}{l}{m}^2-m+\frac{1}{2}>0\\ m^2-m<0\end{array}⟺0<m<1$.