Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến tại điểm $M(x_0;y_0)$ với $x_0<0$ thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{x+2}{x+1}$ sao cho khoảng cách từ $I(-1;1)$ đến $\Delta$ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó $x_0{y}_0$ bằng

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị là $I(-1;1)$. Ta có $y^{\prime }=\frac{-1}{(x+1{)}^2}$. Gọi $M\left(a;\frac{a+2}{a+1}\right)$ với $a<0,a\ne -1$. Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ tại $M$ là: $y=-\frac{1}{(a+1{)}^2}(x-a)+\frac{a+2}{a+1}⟺x+(a+1{)}^{2}y-(a^2+4a+2)=0$. Khoảng cách từ $I(-1;1)$ đến $\Delta$ là: $d=\frac{|-1+(a+1{)}^2-(a^2+4a+2)|}{\sqrt{1+(a+1{)}^4}}=\frac{|-1+a^2+2a+1-a^2-4a-2|}{\sqrt{1+(a+1{)}^4}}=\frac{2|a+1|}{\sqrt{1+(a+1{)}^4}}$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu số: $1+(a+1{)}^4\ge 2(a+1{)}^2⟹d\le \frac{2|a+1|}{\sqrt{2(a+1{)}^2}}=\sqrt{2}$. Dấu bằng xảy ra khi $(a+1{)}^4=1⟺(a+1{)}^2=1⟺a+1=\pm 1$. Vì $a<0,a\ne -1$ nên $a+1=-1⟺a=-2$. Khi đó $x_0=-2⟹y_0=\frac{-2+2}{-2+1}=0$. Vậy $x_0{y}_0=(-2)\cdot 0=0$.