Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $1+\sin x=0\iff \sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Với $x\in [3\pi ;5\pi ]$, ta cần $3\pi \le -\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 5\pi \iff \frac{7}{4}\le k\le \frac{11}{4}$, nên $k=2$, suy ra $x=-\frac{\pi }{2}+4\pi =\frac{7\pi }{2}$. Vậy nghiệm trên đoạn $[3\pi ;5\pi ]$ là $\frac{7\pi }{2}$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai chân cầu là hai giao điểm của đồ thị $y=\frac{39}{10}\sin \left(\frac{x}{8}\right)$ với trục hoành. Điểm $O$ có hoành độ $x=0$ (vì $y=0$ khi $x=0$). Điểm $A$ là giao điểm dương tiếp theo, tức $\sin \left(\frac{x}{8}\right)=0$ với $x>0$ nhỏ nhất: $\frac{x}{8}=\pi \Rightarrow x=8\pi \approx 25,1327$ mét. Vậy khoảng cách $OA=8\pi \approx 25,1$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin x=\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$. Trường hợp 1: $x=x-\frac{\pi }{3}+k2\pi$ vô nghiệm. Trường hợp 2: $x=\pi -\left(x-\frac{\pi }{3}\right)+k2\pi \Rightarrow 2x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: với $x=\frac{\pi }{3}$, $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin 0$. Vậy $S=\left\{\frac{\pi }{3}+k\pi \right\}$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=0$ có nghiệm khi $x-\frac{\pi }{3}=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, suy ra $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: với $k=0$, $x=\frac{\pi }{3}$ thì $\sin 0=0$ đúng. Điều này khớp với đáp án C trong đề và bảng đáp án (Câu 8, mã đề 7115: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)-\sqrt{2}=0$ ta có $\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4}$. Suy ra $x+\frac{\pi }{3}=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$, tức $x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{7\pi }{12}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: với $x=-\frac{\pi }{12}$, $x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}$, $\cos =\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓; với $x=-\frac{7\pi }{12}$, $x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{4}$ ✓. Chu kỳ là $2\pi$ nên các đáp án có $k\pi$ (A) sai. Đáp án D.

Chọn A
Ta có:
$$\cos \left(5x-\frac{\pi }{6}\right)=\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\iff \{\begin{array}{l}5x-\frac{\pi }{6}=2x-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 5x-\frac{\pi }{6}=-2x+\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{14}+\frac{k2\pi }{7}\end{array},k\in \mathbb{Z}.$$
Vì $x\in [0;\pi ]$ nên ta có:
+) Với $x=-\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}\Rightarrow 0\le -\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}\le \pi \iff \frac{1}{12}\le k\le \frac{19}{12}$, do $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=1$ nên $x=\frac{11\pi }{18}$.
+) Với $x=\frac{\pi }{14}+\frac{k2\pi }{7}\Rightarrow 0\le \frac{\pi }{14}+\frac{k2\pi }{7}\le \pi \iff \frac{-1}{4}\le k\le \frac{13}{4}$, do $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k\in \{0;1;2;3\}$ nên $x\in \left\{\frac{\pi }{14};\frac{5\pi }{14};\frac{9\pi }{14};\frac{13\pi }{14}\right\}$.
Tổng tất cả các nghiệm là: $\frac{11\pi }{18}+\frac{\pi }{14}+\frac{5\pi }{14}+\frac{9\pi }{14}+\frac{13\pi }{14}=\frac{47\pi }{18}$.

Chọn B
$$\cos x=\frac{1}{2}\iff \cos x=\cos \frac{\pi }{3}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=\frac{-\pi }{3}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z}).$$

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\frac{1}{2}$ có nghiệm $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$, tức là $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$. Điều này khớp với đáp án C (đáp án B sai vì chu kỳ $k\pi$; A và D sai vì giá trị $\frac{2\pi }{3}$ có $\cos =-\frac{1}{2}$). Kết quả trùng với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\frac{1}{2}$ có nghiệm $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$, vì $\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ và hàm cos là hàm chẵn nên $\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$, chu kỳ $2\pi$. Điều này khớp với đáp án A và cũng khớp với bảng đáp án mã đề 1201 (câu 5 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $\vec{a}\perp \vec{b}$ là $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$: $2\sin 3x-\sqrt{3}\sin x+\cos x=0$. Dùng công thức $\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$ ta được $-8{\sin }^{3}x+(6-\sqrt{3})\sin x+\cos x=0$. Kiểm tra họ nghiệm $x=\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$: với $x=\frac{7\pi }{24}$, $\sin 3x=\sin \frac{7\pi }{8}=\sin \frac{\pi }{8}\approx 0,38268$, $\sin x\approx 0,79335$, $\cos x\approx 0,60876$, thay vào: $2(0,38268)-\sqrt{3}(0,79335)+0,60876\approx 0$. Thỏa mãn. Kiểm tra họ $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$: $\sin 3x=\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin x=-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, $\cos x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, thay vào: $-\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{-4\sqrt{2}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=0$. Thỏa mãn. Các phương án khác sai: phương án A với $x=\frac{2\pi }{3}$: $2\sin 2\pi -\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=-2\ne 0$; phương án C với $x=\frac{\pi }{24}$: $2\sin \frac{\pi }{8}-\sqrt{3}\sin \frac{\pi }{24}+\cos \frac{\pi }{24}\approx 0,7654-0,2261+0,9914\ne 0$; phương án D với $x=\frac{\pi }{12}$: $2\sin \frac{\pi }{4}-\sqrt{3}\sin \frac{\pi }{12}+\cos \frac{\pi }{12}\approx 1,4142-0,4483+0,9659\ne 0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\sin x$, phương trình $2t^2-(5m+1)t+2m^2+2m=0$ có $\Delta =(5m+1{)}^2-8(2m^2+2m)=9m^2-6m+1=(3m-1{)}^2$, nên hai nghiệm $t_1=2m$, $t_2=2m+\frac{1}{2}$.

Đếm số nghiệm của $\sin x=t$ trên $\left(-\frac{\pi }{2};3\pi \right)$ (độ dài $\frac{7\pi }{2}$):
- Với $t\in (-1;1)$, $t\ne 0$: đúng 4 nghiệm (ví dụ $t=\frac{1}{2}$: $\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{13\pi }{6},\frac{17\pi }{6}$).
- $t=0$: 3 nghiệm $(0,\pi ,2\pi )$.
- $t=1$: 2 nghiệm $\left(\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{2}\right)$.
- $t=-1$: 1 nghiệm $\left(\frac{3\pi }{2}\right)$ vì $-\frac{\pi }{2}$ bị loại và $\frac{7\pi }{2}>3\pi$.
- $|t|>1$: 0 nghiệm.

Cần tổng 5 nghiệm. Xét các khả năng:
- $t_1=-1\Rightarrow m=-\frac{1}{2}$, khi đó $t_2=\frac{1}{2}\in (-1;1)$ cho 4 nghiệm: tổng $1+4=5$ nghiệm. Thỏa mãn, $m=-\frac{1}{2}\in (-1;0)$.
- $t_1=0\Rightarrow m=0$: $t_2=\frac{1}{2}$ cho 4 nghiệm, tổng 7. Loại.
- $t_2=0\Rightarrow m=-\frac{1}{4}$: $t_1=-\frac{1}{2}$ cho 4 nghiệm, tổng 7. Loại.
- $t_1=1\Rightarrow m=\frac{1}{2}$: $t_2=\frac{3}{2}$ vô nghiệm, tổng 2. Loại.
- $t_2=1\Rightarrow m=\frac{1}{4}$: $t_1=\frac{1}{2}$ cho 4 nghiệm, tổng 6. Loại.

Vậy $m=-\frac{1}{2}\in (-1;0)$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình dao động: $s=2\cos \left(7t+\frac{\pi }{3}\right)$ (cm).
a) Tại $t=0$: $s=2\cos \frac{\pi }{3}=2\cdot \frac{1}{2}=1$ (cm) → Đúng.
b) Biên độ $A=2$ cm nên khoảng cách xa vị trí cân bằng nhất là $S=2$ cm → Đúng.
c) Qua vị trí cân bằng khi $\cos \left(7t+\frac{\pi }{3}\right)=0\Rightarrow 7t+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow t=\frac{\pi }{42}+\frac{k\pi }{7}$. Với $0\le t\le 30$: $k\le \frac{30-\pi /42}{\pi /7}\approx 66,48$, vậy $k=0,1,\dots ,66$ → 67 lần → Đúng.
d) Xa vị trí cân bằng nhất khi $\cos \left(7t+\frac{\pi }{3}\right)=\pm 1\Rightarrow 7t+\frac{\pi }{3}=k\pi \Rightarrow t=\frac{k\pi -\pi /3}{7}$. Thời điểm dương nhỏ nhất ứng với $k=1$: $t=\frac{2\pi }{21}\approx 0,299$ s, không phải $t=\frac{5}{21}\approx 0,238$ s → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức ĐĐĐS (MD 1112, Phần II Câu 4).
a) (AI giải đề cho tôi)
$s(0)=2\cos (\pi /3)=1$ cm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Biên độ $A=2$ cm nên li độ cực đại (xa VTCB nhất) là 2 cm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Qua VTCB khi $t=\frac{\pi }{42}+\frac{k\pi }{7}$; với $0\le t\le 30$ có $k=\mathrm{0..66}$, tức 67 lần.
d) (AI giải đề cho tôi)
Xa VTCB nhất khi $7t+\frac{\pi }{3}=k\pi \Rightarrow t=\frac{k\pi -\pi /3}{7}$; thời điểm đầu tiên ($k=1$) là $t=\frac{2\pi }{21}\approx 0,299$ s, không phải $\frac{5}{21}$ s.

$\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)$ $\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{4\pi }{3}+k4\pi \\ x=2\pi +k4\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

$\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)$ $\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{4\pi }{3}+k4\pi \\ x=2\pi +k4\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi =\frac{2\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ đúng. Phương án A dùng chu kỳ $k\pi$ sai vì $\sin \left(\frac{\pi }{3}+\pi \right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $p(t)=90$: $100+20\cos (120\pi t)=90\iff \cos (120\pi t)=-\frac{1}{2}$. Suy ra $120\pi t=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$, tức $t=\frac{k}{60}\pm \frac{1}{180}$, $k\in \mathbb{Z}$. Xét $t\in [0;10]$:
- Dạng $t=\frac{k}{60}+\frac{1}{180}$: cần $0\le \frac{k}{60}+\frac{1}{180}\le 10\iff -\frac{1}{3}\le k\le \frac{1799}{3}\approx 599,67$, nên $k=0,1,\dots ,599$: 600 giá trị.
- Dạng $t=\frac{k}{60}-\frac{1}{180}$: cần $0\le \frac{k}{60}-\frac{1}{180}\le 10\iff \frac{1}{3}\le k\le \frac{1801}{3}\approx 600,33$, nên $k=1,2,\dots ,600$: 600 giá trị.
Hai họ không trùng nhau (một họ là các số dạng $\frac{3k+1}{180}$, họ kia dạng $\frac{3k-1}{180}$). Vậy tổng cộng huyết áp đạt mức 90 mmHg $600+600=1200$ lần trong 10 phút.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=-1$ có nghiệm dạng $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (vì $\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1$ và hàm số có chu kỳ $2\pi$). Kiểm tra các phương án: A cho $\sin (\pi +k2\pi )=0$; B cho $\sin (k\pi )=0$; C cho $\sin \left(\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)=1$. Chỉ phương án D thỏa mãn, trùng với đáp án nguồn (mã đề 202, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\cos \left(4x-\frac{3\pi }{8}\right)=-1$: $4x-\frac{3\pi }{8}=\pi +2k\pi \Rightarrow x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$.

a) Đúng. Trên đường tròn lượng giác, nghiệm có dạng $x\equiv \frac{11\pi }{32}(\mathrm{mod}\frac{\pi }{2})$, nên trong $[0;2\pi )$ có 4 giá trị phân biệt: $\frac{11\pi }{32},\frac{27\pi }{32},\frac{43\pi }{32},\frac{59\pi }{32}$, tương ứng 4 điểm trên đường tròn.

b) Sai. Trên khoảng $\left(\frac{\pi }{4};\frac{19\pi }{2}\right)=\left(\frac{8\pi }{32};\frac{304\pi }{32}\right)$: cần $\frac{8\pi }{32}<\frac{11\pi }{32}+\frac{16k\pi }{32}<\frac{304\pi }{32}$, tức $8<11+16k<304$, cho $k=0,1,\dots ,18$ (19 nghiệm). Tổng $=19\cdot \frac{11\pi }{32}+\frac{\pi }{2}\cdot \frac{18\cdot 19}{2}=\frac{209\pi }{32}+\frac{171\pi }{2}=\frac{2945\pi }{32}\ne \frac{6061\pi }{32}$.

c) Sai. Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{11\pi }{32}$; nghiệm âm lớn nhất là $\frac{11\pi }{32}-\frac{\pi }{2}=-\frac{5\pi }{32}$. Tổng $=\frac{6\pi }{32}=\frac{3\pi }{16}\ne \frac{3\pi }{4}$.

d) Đúng. Thay $x=\frac{11\pi }{32}$: $4x-\frac{3\pi }{8}=\frac{11\pi }{8}-\frac{3\pi }{8}=\pi$, nên $\cos \pi =-1$, thỏa mãn. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Đ, S, S, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm $x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}$ cho 4 điểm phân biệt trên đường tròn lượng giác trong một vòng $2\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Có 19 nghiệm với $k=0,\dots ,18$; tổng bằng $\frac{2945\pi }{32}$, không phải $\frac{6061\pi }{32}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm dương nhỏ nhất $\frac{11\pi }{32}$, nghiệm âm lớn nhất $-\frac{5\pi }{32}$, tổng $\frac{3\pi }{16}\ne \frac{3\pi }{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=\frac{11\pi }{32}$ vào phương trình được $\cos \pi =-1$, đúng.

a) Đúng. Thay $x=\frac{11\pi }{32}$ vào phương trình, ta được: $\cos \left(4\cdot \frac{11\pi }{32}-\frac{3\pi }{8}\right)=\cos \left(\pi \right)=-1$. Vậy $x=\frac{11\pi }{32}$ là một nghiệm của phương trình đã cho.

b) Đúng. Ta có: $\cos \left(4x-\frac{3\pi }{8}\right)=-1\iff x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$. Áp dụng công thức nghiệm: $x=\alpha +\frac{k2\pi }{n}$, ta có $x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k2\pi }{4}$. Suy ra $n=4$. Vậy tất cả nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi 4 điểm trên đường tròn lượng giác.

c) Sai. Nghiệm dương nhỏ nhất ứng với $k=0$ là $\frac{11\pi }{32}$; nghiệm âm lớn nhất ứng với $k=-1$ là $-\frac{5\pi }{32}$. Tổng bằng $\frac{11\pi }{32}-\frac{5\pi }{32}=\frac{3\pi }{16}$.

d) Sai. $k\in \{0;1;2;...;17;18\}$. Thay các giá trị của $k$ vào $x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}$ ta được tập hợp các nghiệm trên khoảng $\left(\frac{\pi }{4};\frac{19\pi }{2}\right)$. Cách 1: Bấm máy $\sum _{k=0}^{18}\left(\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}\right)=\frac{2945\pi }{32}$. Cách 2: Coi mỗi nghiệm là 1 số hạng trong cấp số cộng với $x_1=\frac{11\pi }{32}$, công sai $d=\frac{\pi }{2}$, số số hạng $n=19$. Tổng các nghiệm là: $S=\frac{\left(x_1+x_{19}\right).n}{2}=\frac{\left(\frac{11\pi }{32}+\frac{11\pi }{32}+\frac{18\pi }{2}\right).19}{2}=\frac{2945\pi }{32}$.
a) Đúng. Thay $x=\frac{11\pi }{32}$ vào phương trình, ta được: $\cos \left(4\cdot \frac{11\pi }{32}-\frac{3\pi }{8}\right)=\cos \left(\pi \right)=-1$. Vậy $x=\frac{11\pi }{32}$ là một nghiệm của phương trình đã cho.
b) Đúng. Ta có: $\cos \left(4x-\frac{3\pi }{8}\right)=-1\iff 4x-\frac{3\pi }{8}=\pi +k2\pi \iff 4x=\frac{11\pi }{8}+k2\pi \iff x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$. Áp dụng công thức nghiệm: $x=\alpha +\frac{k2\pi }{n}$ với $n$ là số điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác, ta có: $\iff x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}=\frac{11\pi }{32}+\frac{k2\pi }{4}$. Suy ra $n=4$. Vậy tất cả nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi 4 điểm trên đường tròn lượng giác.
c) Sai. Xét $x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}>0\iff k>-\frac{11}{16}$ mà $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ nghiệm dương nhỏ nhất ứng với $k=0$: $\frac{11\pi }{32}$. Xét $x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}<0\iff k<-\frac{11}{16}$ mà $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ nghiệm âm lớn nhất ứng với $k=-1$: $-\frac{5\pi }{32}$. Tổng bằng $\frac{11\pi }{32}-\frac{5\pi }{32}=\frac{3\pi }{16}$.
d) Sai. Do $x\in \left(\frac{\pi }{4};\frac{19\pi }{2}\right)\iff \frac{\pi }{4}<\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}<\frac{19\pi }{2}\iff -\frac{3}{16}<k<\frac{293}{16},k\in \mathbb{Z}\iff k\in \{0;1;2;...;17;18\}$. Thay các giá trị của $k$ vào $x=\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}$ ta được tập hợp các nghiệm trên khoảng đó. Cách 1: Bấm máy $\sum _{k=0}^{18}\left(\frac{11\pi }{32}+\frac{k\pi }{2}\right)=\frac{2945\pi }{32}$. Cách 2: Coi mỗi nghiệm là 1 số hạng trong cấp số cộng với $x_1=\frac{11\pi }{32}$, công sai $d=\frac{\pi }{2}$, số số hạng $n=19$. Tổng các nghiệm là: $S=\frac{\left(x_1+x_{19}\right).n}{2}=\frac{\left(\frac{11\pi }{32}+\frac{11\pi }{32}+\frac{18\pi }{2}\right).19}{2}=\frac{2945\pi }{32}$.

$\sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.