Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình hai căn và điều kiện tương đương (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{A}=\sqrt{B}$ tương đương $A=B\ge 0$. Với $A=3x^2-6x+1$, $B=-2x^2-9x+1$: cho $A=B$ ta được $3x^2-6x+1=-2x^2-9x+1\iff 5x^2+3x=0\iff x=0$ hoặc $x=-\frac{3}{5}$. Kiểm tra điều kiện: tại $x=0$, $A=B=1\ge 0$ (thỏa); tại $x=-\frac{3}{5}$, $A=B=\frac{142}{25}>0$ (thỏa). Vậy phương trình có 2 nghiệm, đáp án D (khớp đáp án nguồn mã đề 801).

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $3x^2-3x-1=2x^2-x-1\iff x^2-2x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Kiểm tra điều kiện biểu thức trong căn không âm: tại $x=0$ thì $3x^2-3x-1=-1<0$ (loại); tại $x=2$ thì $3\cdot 4-6-1=5\ge 0$ (thỏa). Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm $x=2$, khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2-2x-1=-x^2+2x-1\iff 2x^2-4x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Kiểm tra điều kiện: với $x=0$ thì $x^2-2x-1=-1<0$ (loại); với $x=2$ thì $x^2-2x-1=-1<0$ (loại). Vậy phương trình vô nghiệm, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (các vế đều không âm): $3x^2+6x+3=2x^2-5x+3\iff x^2+11x=0\iff x=0$ hoặc $x=-11$. Thử lại: với $x=0$, hai vế đều bằng $\sqrt{3}$, thỏa mãn. Vậy một nghiệm là $x=0$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x\ge \frac{1}{2}$. Đặt $a=\sqrt{x+2}$, $b=\sqrt{2x-1}$ thì $b^2-a^2=(2x-1)-(x+2)=x-3$. Phương trình trở thành $(x-2+a)(b-a)=(b-a)(b+a)$, tức là $(b-a)(x-2+a-b-a)=0\iff (b-a)(x-2-b)=0$.
Trường hợp 1: $b=a\Rightarrow 2x-1=x+2\Rightarrow x=3$ (thỏa mãn).
Trường hợp 2: $b=x-2\Rightarrow x\ge 2$; bình phương: $2x-1=(x-2{)}^2\iff x^2-6x+5=0\Rightarrow x=1$ (loại vì $x-2<0$) hoặc $x=5$ (thỏa: $\sqrt{9}=3$).
Vậy $S=\{3;5\}$, tổng các phần tử là $3+5=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x^2-4x-2\ge 0$ và $x^2-x-2\ge 0$. Bình phương hai vế: $2x^2-4x-2=x^2-x-2\iff x^2-3x=0\iff x=0$ hoặc $x=3$. Thử: với $x=0$, vế trái $\sqrt{-2}$ không xác định (loại); với $x=3$: $\sqrt{18-12-2}=\sqrt{4}=2$ và $\sqrt{9-3-2}=\sqrt{4}=2$, thỏa mãn. Vậy tập nghiệm $S=\{3\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2-2x-1\ge 0$ và $-x^2+2x-1\ge 0$. Bình phương hai vế: $x^2-2x-1=-x^2+2x-1\iff 2x^2-4x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Thử lại: với $x=0$ thì $x^2-2x-1=-1<0$ (loại); với $x=2$ thì $x^2-2x-1=-1<0$ (loại). Vậy phương trình vô nghiệm, đáp án C.

a) Giải bất phương trình: $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8\le 0$.
Điều kiện: $-\frac{1}{3}\le x\le 6$. Sử dụng phương pháp liên hợp với nghiệm $x=5$:
$$\frac{3(x-5)}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{x-5}{\sqrt{6-x}+1}+(x-5)(3x+1)\le 0$$
$$\iff (x-5)\left[\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1\right]\le 0$$
Vì biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi $x\in \left[-\frac{1}{3};6\right]$, ta có: $x-5\le 0\iff x\le 5$.
Kết hợp điều kiện, tập nghiệm là $S=\left[-\frac{1}{3};5\right]$.

b) Bài toán quy hoạch tuyến tính (Tối ưu chi phí thực phẩm).
Gọi $x,y$ lần lượt là số hộ thực phẩm loại $X$ và loại $Y$ cần mua $(x,y\ge 0)$.
Hệ điều kiện về các đơn vị chất dinh dưỡng tối thiểu:
$$\{\begin{array}{ll}2x+y\ge 11& \text{(Chaˆˊt A)}\\ 2x+9y\ge 27& \text{(Chaˆˊt B)}\\ 2x+3y\ge 20& \text{(Chaˆˊt C)}\end{array}$$
Hàm chi phí cần tối thiểu hóa: $L(x,y)=200x+250y$ (nghìn đồng).

i. Thiết lập hệ bất phương trình và Hàm mục tiêu. Hệ điều kiện về đơn vị chất dinh dưỡng tối thiểu:
$$\{\begin{array}{ll}2x+y\ge 11& (d_1)\\ 2x+9y\ge 27& (d_2)\\ 2x+3y\ge 20& (d_3)\\ x,y\in \mathbb{N}& \end{array}$$
Hàm chi phí cần tối thiểu hóa: $L(x,y)=200x+250y$ (nghìn đồng).

ii. Xác định các điểm cực biên của miền nghiệm. Xét các giao điểm của các đường biên để xác định hình dạng miền nghiệm khả thi:

• Giao điểm của $d_1$ và $d_3$: Giải hệ $$\{\begin{array}{l}2x+y=11\\ 2x+3y=20\end{array}\Rightarrow A(3,25;4,5).$$

• Giao điểm của $d_3$ and $d_2$: Giải hệ $$\{\begin{array}{l}2x+3y=20\\ 2x+9y=27\end{array}\Rightarrow B(8,25;1,16).$$

Chú ý: Giao điểm của $d_1$ và $d_2$ tại $(4,5;2)$ không thỏa mãn điều kiện $(d_3)$ nên không thuộc miền nghiệm.

iii. Kiểm tra các điểm nguyên lân cận. Vì $x,y$ là các số nguyên, ta kiểm tra các tọa độ nguyên nằm trong miền nghiệm gần các đỉnh $A$ và $B$:



iv. Kết luận. Giá trị nhỏ nhất của hàm chi phí là 1.800.000 đồng. Phương án tối ưu là mua 4 hộp thực phẩm loại X và 4 hộp thực phẩm loại Y.

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình $\sqrt{2x^2+x+3}=\sqrt{x^2-4x+3}$ (1).

a) Bình phương hai vế: $2x^2+x+3=x^2-4x+3\iff x^2+5x=0\iff x=0$ hoặc $x=-5$. Kiểm tra điều kiện xác định (xem c): cả hai giá trị đều thỏa mãn nên $S=\{-5;0\}\ne \{0;2\}$ → Sai.

b) Với $x_1=-5,x_2=0$: $P=x_1^2+x_2^2-3x_1{x}_2=25+0-0=25$ → Đúng.

c) Điều kiện xác định: $x^2-4x+3\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 3$ (vì $2x^2+x+3>0$ với mọi $x$ do $\Delta <0$), không phải $1\le x\le 3$ → Sai.

d) Phương trình (1) có dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ với $f(x)=2x^2+x+3$, $g(x)=x^2-4x+3$ → Đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (4a: S, 4b: D, 4c: S, 4d: D).
a) Bình phương hai vế: $2x^2+x+3=x^2-4x+3\iff x^2+5x=0\iff x=0$ hoặc $x=-5$. Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện xác định nên tập nghiệm là $S=\{-5;0\}$, không phải $\{0;2\}$ → Sai.
b) Với $x_1=-5,x_2=0$: $P=(-5{)}^2+0^2-3\cdot (-5)\cdot 0=25$ → Đúng.
c) Điều kiện xác định là $x^2-4x+3\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 3$ (với $2x^2+x+3>0$ với mọi $x$), không phải $1\le x\le 3$ → Sai.
d) Phương trình (1) có dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ với $f(x)=2x^2+x+3,g(x)=x^2-4x+3$ → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-1\ge 0$ và $3-x\ge 0$ nên $1\le x\le 3$. Bình phương hai vế: $x-1=3-x\iff 2x=4\iff x=2$, thỏa điều kiện. Vậy phương trình có nghiệm $x=2$, khớp đáp án A trong bảng mã đề 0112.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $2x^2+x+3=x^2-4x+3\iff x^2+5x=0\iff x=0$ hoặc $x=-5$. Kiểm tra điều kiện $x^2-4x+3\ge 0$: cả hai giá trị thỏa mãn. Vậy $S=\{-5;0\}$, với $x_1=-5,x_2=0$ thì $P=x_1^2+x_2^2-3x_1{x}_2=25+0-0=25$. a) Đúng: phương trình có dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ với $f(x)=2x^2+x+3,g(x)=x^2-4x+3$. b) Sai: ĐKXĐ là $x^2-4x+3\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 3$, không phải $1\le x\le 3$. c) Đúng: $P=25$. d) Sai: tập nghiệm là $S=\{-5;0\}$, không phải $\{0;2\}$. Khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đúng. Phương trình có dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ với $f(x)=2x^2+x+3$, $g(x)=x^2-4x+3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sai. ĐKXĐ: $x^2-4x+3\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 3$ (lưu ý $2x^2+x+3>0$ với mọi $x$). Không phải $1\le x\le 3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng. Bình phương hai vế: $x^2+5x=0\iff x=0$ hoặc $x=-5$, đều thỏa ĐKXĐ. Với $x_1=-5,x_2=0$: $P=25+0-0=25$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Sai. Tập nghiệm là $S=\{-5;0\}$, không phải $\{0;2\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $-x^2+4\ge 0$ và $10-5x\ge 0$, tức $-2\le x\le 2$. Bình phương hai vế: $-x^2+4=10-5x\iff x^2-5x+6=0\iff x=2$ hoặc $x=3$. Thử lại: $x=3$ làm $-x^2+4=-5<0$ (loại); $x=2$ thỏa mãn vì $\sqrt{0}=\sqrt{0}$. Vậy $x=2$, đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $-x^2+1\ge 0$ và $4-4x\ge 0$ (tức $x\le 1$). Bình phương hai vế: $-x^2+1=4-4x\iff x^2-4x+3=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Thử lại: với $x=3$ thì $-x^2+1=-8<0$ (loại); với $x=1$ thì hai vế đều bằng $0$, thỏa mãn. Vậy $x=1$, đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2+x-1=3x^2-2x\iff 2x^2-3x+1=0\iff x=1$ hoặc $x=\frac{1}{2}$. Kiểm tra điều kiện: với $x=\frac{1}{2}$ thì $x^2+x-1=-\frac{1}{4}<0$ (loại); với $x=1$ thì hai vế đều bằng $1$ (thỏa mãn). Vậy nghiệm $x=1\in \left(\frac{1}{2};3\right)$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (điều kiện cả hai biểu thức dưới dấu căn cùng không âm): $4x^2-2x-1=-2x^2+2x+1\iff 6x^2-4x-2=0\iff 3x^2-2x-1=0\iff x=1$ hoặc $x=-\frac{1}{3}$. Thử $x=1$: $\sqrt{4-2-1}=1=\sqrt{-2+2+1}$, thỏa mãn. Thử $x=-\frac{1}{3}$: $4\cdot \frac{1}{9}+\frac{2}{3}-1=\frac{1}{9}>0$ nhưng $-2\cdot \frac{1}{9}-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{9}$... kiểm tra lại: $-2x^2+2x+1=-\frac{2}{9}-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{9}$, còn $4x^2-2x-1=\frac{4}{9}+\frac{2}{3}-1=\frac{1}{9}$. Cả hai đều bằng $\frac{1}{9}>0$, vậy $x=-\frac{1}{3}$ thỏa mãn. Tập nghiệm $S=\left\{-\frac{1}{3};1\right\}$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{x^2-7}=\sqrt{1-x^2}$ có điều kiện $x^2-7\ge 0$ và $1-x^2\ge 0$, tức $x^2\ge 7$ và $x^2\le 1$, mâu thuẫn nên không có giá trị $x$ nào thỏa mãn. Bình phương hai vế: $x^2-7=1-x^2\iff 2x^2=8\iff x^2=4$, nhưng khi đó $x^2-7=-3<0$ (không thỏa điều kiện). Vậy phương trình vô nghiệm, số nghiệm là 0.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3x^2-4x-1}=\sqrt{2x^2-4x+3}$. Điều kiện: $3x^2-4x-1\ge 0$ và $2x^2-4x+3\ge 0$. Vì $2x^2-4x+3=2(x-1{)}^2+1>0$ với mọi $x$, chỉ cần $3x^2-4x-1\ge 0$. Bình phương hai vế: $3x^2-4x-1=2x^2-4x+3\iff x^2=4\iff x=\pm 2$. Kiểm tra: với $x=2$: $3\cdot 4-8-1=3\ge 0$ thỏa; với $x=-2$: $3\cdot 4+8-1=19\ge 0$ thỏa. Vậy tập nghiệm $S=\{-2;2\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $3-x\ge 0\iff x\le 3$ (khi đó $x^2-8x+13=(3-x)\ge 0$ cũng tự thỏa). Bình phương hai vế: $x^2-8x+13=3-x\iff x^2-7x+10=0\iff (x-2)(x-5)=0\iff x=2$ hoặc $x=5$. So với điều kiện $x\le 3$: chỉ nhận $x=2$. Thử lại: $x=2$ thì $\sqrt{4-16+13}=\sqrt{1}=1$ và $\sqrt{3-2}=1$, thỏa mãn. Vậy $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 19a: Điều kiện: x+3 ≥ 0 và 6x²−x−1 ≥ 0. Bình phương hai vế: x+3 = 6x²−x−1 ⟺ 6x²−2x−4 = 0 ⟺ 3x²−x−2 = 0 ⟺ (x−1)(3x+2)=0 ⟺ x=1 hoặc x=−2/3. Cả hai giá trị đều thỏa mãn x ≥ −3 và làm 6x²−x−1 ≥ 0 (x=1: 6−1−1=4>0; x=−2/3: 24/9+2/3−1=7/3>0). Vậy tập nghiệm S = {1; −2/3}. Câu 19b: Hàm số xác định khi x²−4 ≥ 0 và x−1 ≠ 0, tức x ≤ −2 hoặc x ≥ 2 (điều kiện x ≠ 1 đã được bao gồm). Vậy D = (−∞; −2] ∪ [2; +∞).

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2+2x-3=15-5x\iff x^2+7x-18=0\iff (x-2)(x+9)=0$, nên $x=2$ hoặc $x=-9$. Kiểm tra điều kiện: với $x=2$: $\sqrt{5}=\sqrt{5}$ thỏa; với $x=-9$: $\sqrt{60}=\sqrt{60}$ thỏa. Tổng các nghiệm $S=2+(-9)=-7$. Đáp án B.