Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình hai căn và điều kiện tương đương (Toán học Lớp 10)

Giải (mã đề 108):
Bình phương hai vế của phương trình ta được
$x^2+2x-6=1-4x$ (0,25)
$\iff x^2+6x-7=0$ (0,25)
$\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=-7\end{array}$
thử lại $x=-7$ (nhận).
Vậy $S=\{-7\}$ (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $1-2x\ge 0\iff x\le \frac{1}{2}$. Bình phương hai vế: $x^2+x-3=1-2x\iff x^2+3x-4=0\iff (x-1)(x+4)=0\iff x=1$ hoặc $x=-4$. Với $x=1$: $1-2x=-2<0$, loại. Với $x=-4$: thỏa $x\le \frac{1}{2}$; kiểm tra $\sqrt{16-4-3}=\sqrt{9}=3$ và $\sqrt{1+8}=\sqrt{9}=3$, thỏa mãn. Vậy $S=\{-4\}$.

Bình phương hai vế của phương trình ta được $x^2+2x-4=1-2x\iff x^2+4x-5=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=-5</td></tr></tbody></table>$. Thử lại $x=-5$ (nhận). Vậy $S=\{-5\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $1-3x\ge 0\iff x\le \frac{1}{3}$. Bình phương hai vế: $x^2+2x-5=1-3x\iff x^2+5x-6=0\iff (x-1)(x+6)=0\iff x=1$ hoặc $x=-6$. Thử lại với điều kiện $x\le \frac{1}{3}$: $x=1$ loại; $x=-6$ thỏa (kiểm tra: $\sqrt{36-12-5}=\sqrt{19}$ và $\sqrt{1+18}=\sqrt{19}$). Vậy $S=\{-6\}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $5x^2-8x+2<0$ có ẩn ở bậc hai nên là bất phương trình bậc hai. b) Đúng: $x^2+2\ge 2>0$ với mọi $x$, tập nghiệm là $\mathbb{R}$. c) Đúng: bình phương hai vế: $5x^2-8x+2=x^2+2\iff 4x^2-8x=0$. d) Sai: từ $4x^2-8x=0$ được $x=0$ hoặc $x=2$; cả hai đều thỏa mãn phương trình gốc (kiểm tra: $x=0$ cho $\sqrt{2}=\sqrt{2}$, $x=2$ cho $\sqrt{6}=\sqrt{6}$). Tổng bình phương các nghiệm $=0^2+2^2=4\ne 16$. Khớp đáp án DDDS của mã đề 123.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình có ẩn bậc hai, hệ số $a=5\ne 0$, nên là bất phương trình bậc hai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x^2\ge 0$ nên $x^2+2\ge 2>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$; tập nghiệm là $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $5x^2-8x+2=x^2+2\iff 4x^2-8x=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm của phương trình là $x=0$ và $x=2$ (đều thỏa điều kiện), tổng bình phương $=0+4=4\ne 16$.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (cả hai vế không âm): $3x^2-x-3=x^2-x+1\Rightarrow 2x^2=4\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$. Kiểm tra điều kiện $3x^2-x-3\ge 0$: với $x=\sqrt{2}$ ta có $3-\sqrt{2}>0$; với $x=-\sqrt{2}$ ta có $3+\sqrt{2}>0$, cả hai nghiệm thỏa. Tích các nghiệm $=\sqrt{2}\cdot (-\sqrt{2})=-2$. Khớp đáp án nguồn (mã 123, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{A}=\sqrt{B}$ tương đương $A=B\ge 0$. Với $A=3x^2-6x+1$, $B=-2x^2-9x+1$: cho $A=B$ ta được $3x^2-6x+1=-2x^2-9x+1\iff 5x^2+3x=0\iff x=0$ hoặc $x=-\frac{3}{5}$. Kiểm tra điều kiện: tại $x=0$, $A=B=1\ge 0$ (thỏa); tại $x=-\frac{3}{5}$, $A=B=\frac{142}{25}>0$ (thỏa). Vậy phương trình có 2 nghiệm, đáp án D (khớp đáp án nguồn mã đề 801).

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $3x^2-3x-1=2x^2-x-1\iff x^2-2x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Kiểm tra điều kiện biểu thức trong căn không âm: tại $x=0$ thì $3x^2-3x-1=-1<0$ (loại); tại $x=2$ thì $3\cdot 4-6-1=5\ge 0$ (thỏa). Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm $x=2$, khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2-2x-1=-x^2+2x-1\iff 2x^2-4x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Kiểm tra điều kiện: với $x=0$ thì $x^2-2x-1=-1<0$ (loại); với $x=2$ thì $x^2-2x-1=-1<0$ (loại). Vậy phương trình vô nghiệm, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (các vế đều không âm): $3x^2+6x+3=2x^2-5x+3\iff x^2+11x=0\iff x=0$ hoặc $x=-11$. Thử lại: với $x=0$, hai vế đều bằng $\sqrt{3}$, thỏa mãn. Vậy một nghiệm là $x=0$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x^2-4x-2\ge 0$ và $x^2-x-2\ge 0$. Bình phương hai vế: $2x^2-4x-2=x^2-x-2\iff x^2-3x=0\iff x=0$ hoặc $x=3$. Thử: với $x=0$, vế trái $\sqrt{-2}$ không xác định (loại); với $x=3$: $\sqrt{18-12-2}=\sqrt{4}=2$ và $\sqrt{9-3-2}=\sqrt{4}=2$, thỏa mãn. Vậy tập nghiệm $S=\{3\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2-2x-1\ge 0$ và $-x^2+2x-1\ge 0$. Bình phương hai vế: $x^2-2x-1=-x^2+2x-1\iff 2x^2-4x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Thử lại: với $x=0$ thì $x^2-2x-1=-1<0$ (loại); với $x=2$ thì $x^2-2x-1=-1<0$ (loại). Vậy phương trình vô nghiệm, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình $\sqrt{2x^2+x+3}=\sqrt{x^2-4x+3}$ (1).

a) Bình phương hai vế: $2x^2+x+3=x^2-4x+3\iff x^2+5x=0\iff x=0$ hoặc $x=-5$. Kiểm tra điều kiện xác định (xem c): cả hai giá trị đều thỏa mãn nên $S=\{-5;0\}\ne \{0;2\}$ → Sai.

b) Với $x_1=-5,x_2=0$: $P=x_1^2+x_2^2-3x_1{x}_2=25+0-0=25$ → Đúng.

c) Điều kiện xác định: $x^2-4x+3\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 3$ (vì $2x^2+x+3>0$ với mọi $x$ do $\Delta <0$), không phải $1\le x\le 3$ → Sai.

d) Phương trình (1) có dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ với $f(x)=2x^2+x+3$, $g(x)=x^2-4x+3$ → Đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (4a: S, 4b: D, 4c: S, 4d: D).
a) Bình phương hai vế: $2x^2+x+3=x^2-4x+3\iff x^2+5x=0\iff x=0$ hoặc $x=-5$. Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện xác định nên tập nghiệm là $S=\{-5;0\}$, không phải $\{0;2\}$ → Sai.
b) Với $x_1=-5,x_2=0$: $P=(-5{)}^2+0^2-3\cdot (-5)\cdot 0=25$ → Đúng.
c) Điều kiện xác định là $x^2-4x+3\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 3$ (với $2x^2+x+3>0$ với mọi $x$), không phải $1\le x\le 3$ → Sai.
d) Phương trình (1) có dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ với $f(x)=2x^2+x+3,g(x)=x^2-4x+3$ → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $2x^2+x+3=x^2-4x+3\iff x^2+5x=0\iff x=0$ hoặc $x=-5$. Kiểm tra điều kiện $x^2-4x+3\ge 0$: cả hai giá trị thỏa mãn. Vậy $S=\{-5;0\}$, với $x_1=-5,x_2=0$ thì $P=x_1^2+x_2^2-3x_1{x}_2=25+0-0=25$. a) Đúng: phương trình có dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ với $f(x)=2x^2+x+3,g(x)=x^2-4x+3$. b) Sai: ĐKXĐ là $x^2-4x+3\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 3$, không phải $1\le x\le 3$. c) Đúng: $P=25$. d) Sai: tập nghiệm là $S=\{-5;0\}$, không phải $\{0;2\}$. Khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đúng. Phương trình có dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ với $f(x)=2x^2+x+3$, $g(x)=x^2-4x+3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sai. ĐKXĐ: $x^2-4x+3\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 3$ (lưu ý $2x^2+x+3>0$ với mọi $x$). Không phải $1\le x\le 3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng. Bình phương hai vế: $x^2+5x=0\iff x=0$ hoặc $x=-5$, đều thỏa ĐKXĐ. Với $x_1=-5,x_2=0$: $P=25+0-0=25$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Sai. Tập nghiệm là $S=\{-5;0\}$, không phải $\{0;2\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $-x^2+4\ge 0$ và $10-5x\ge 0$, tức $-2\le x\le 2$. Bình phương hai vế: $-x^2+4=10-5x\iff x^2-5x+6=0\iff x=2$ hoặc $x=3$. Thử lại: $x=3$ làm $-x^2+4=-5<0$ (loại); $x=2$ thỏa mãn vì $\sqrt{0}=\sqrt{0}$. Vậy $x=2$, đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $-x^2+1\ge 0$ và $4-4x\ge 0$ (tức $x\le 1$). Bình phương hai vế: $-x^2+1=4-4x\iff x^2-4x+3=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Thử lại: với $x=3$ thì $-x^2+1=-8<0$ (loại); với $x=1$ thì hai vế đều bằng $0$, thỏa mãn. Vậy $x=1$, đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2+x-1=3x^2-2x\iff 2x^2-3x+1=0\iff x=1$ hoặc $x=\frac{1}{2}$. Kiểm tra điều kiện: với $x=\frac{1}{2}$ thì $x^2+x-1=-\frac{1}{4}<0$ (loại); với $x=1$ thì hai vế đều bằng $1$ (thỏa mãn). Vậy nghiệm $x=1\in \left(\frac{1}{2};3\right)$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (điều kiện cả hai biểu thức dưới dấu căn cùng không âm): $4x^2-2x-1=-2x^2+2x+1\iff 6x^2-4x-2=0\iff 3x^2-2x-1=0\iff x=1$ hoặc $x=-\frac{1}{3}$. Thử $x=1$: $\sqrt{4-2-1}=1=\sqrt{-2+2+1}$, thỏa mãn. Thử $x=-\frac{1}{3}$: $4\cdot \frac{1}{9}+\frac{2}{3}-1=\frac{1}{9}>0$ nhưng $-2\cdot \frac{1}{9}-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{9}$... kiểm tra lại: $-2x^2+2x+1=-\frac{2}{9}-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{9}$, còn $4x^2-2x-1=\frac{4}{9}+\frac{2}{3}-1=\frac{1}{9}$. Cả hai đều bằng $\frac{1}{9}>0$, vậy $x=-\frac{1}{3}$ thỏa mãn. Tập nghiệm $S=\left\{-\frac{1}{3};1\right\}$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{x^2-7}=\sqrt{1-x^2}$ có điều kiện $x^2-7\ge 0$ và $1-x^2\ge 0$, tức $x^2\ge 7$ và $x^2\le 1$, mâu thuẫn nên không có giá trị $x$ nào thỏa mãn. Bình phương hai vế: $x^2-7=1-x^2\iff 2x^2=8\iff x^2=4$, nhưng khi đó $x^2-7=-3<0$ (không thỏa điều kiện). Vậy phương trình vô nghiệm, số nghiệm là 0.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3x^2-4x-1}=\sqrt{2x^2-4x+3}$. Điều kiện: $3x^2-4x-1\ge 0$ và $2x^2-4x+3\ge 0$. Vì $2x^2-4x+3=2(x-1{)}^2+1>0$ với mọi $x$, chỉ cần $3x^2-4x-1\ge 0$. Bình phương hai vế: $3x^2-4x-1=2x^2-4x+3\iff x^2=4\iff x=\pm 2$. Kiểm tra: với $x=2$: $3\cdot 4-8-1=3\ge 0$ thỏa; với $x=-2$: $3\cdot 4+8-1=19\ge 0$ thỏa. Vậy tập nghiệm $S=\{-2;2\}$.