Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đếm có điều kiện kề nhau hoặc loại trừ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác cần 3 đỉnh không thẳng hàng. Tổng cách chọn 3 điểm trong 7 điểm là $C_7^3=35$. Các bộ 3 điểm thẳng hàng: trên đường thẳng $a$ có $C_3^3=1$ bộ, trên đường thẳng $b$ có $C_4^3=4$ bộ. Vậy số tam giác là $35-1-4=30$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Coi 3 bạn nữ như một khối. Xếp 4 nam và khối nữ: $5!=120$ cách. Xếp 3 nữ trong khối: $3!=6$ cách. Tổng: $120\times 6=720$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 bi từ 4 xanh, 5 đỏ, 7 trắng sao cho đủ 3 màu, tức phân loại $(2;1;1)$:
- 2 xanh, 1 đỏ, 1 trắng: $C_4^2\cdot C_5^1\cdot C_7^1=6\cdot 5\cdot 7=210$.
- 1 xanh, 2 đỏ, 1 trắng: $C_4^1\cdot C_5^2\cdot C_7^1=4\cdot 10\cdot 7=280$.
- 1 xanh, 1 đỏ, 2 trắng: $C_4^1\cdot C_5^1\cdot C_7^2=4\cdot 5\cdot 21=420$.
Tổng: $210+280+420=910$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập có 4 chữ số khác nhau, lấy từ tập $A=\{0;1;2;3;4;5\}$, và phải là số chẵn nên chữ số hàng đơn vị phải là $0$, $2$ hoặc $4$.

**Trường hợp 1: chữ số tận cùng là $0$.**
Chọn 3 chữ số khác nhau (khác 0) từ 5 chữ số còn lại để xếp vào 3 vị trí đầu: $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$ số.

**Trường hợp 2: chữ số tận cùng là $2$ hoặc $4$ (2 cách chọn).**
- Chữ số hàng nghìn không được là $0$ và không trùng chữ số tận cùng: còn $4$ cách chọn.
- Hai vị trí còn lại: chọn từ $4$ chữ số còn lại, có $4\cdot 3=12$ cách.
Số số: $2\cdot 4\cdot 4\cdot 3=96$ số.

Vậy tổng số số tự nhiên chẵn có bốn chữ số khác nhau là $60+96=156$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a$ là số học sinh nhận (sách, sổ), $b$ là số nhận (sách, bút), $c$ là số nhận (sổ, bút). Điều kiện số phần thưởng: $a+b=4$ (sách), $a+c=4$ (sổ), $b+c=6$ (bút). Giải hệ được $b=c=3$, $a=1$. Vậy cấu trúc bắt buộc: 1 người nhận (sách, sổ), 3 người nhận (sách, bút), 3 người nhận (sổ, bút). Tổng số cách phát: chọn người nhận (sách, sổ): 7 cách, rồi chọn 3 trong 6 người còn lại nhận (sách, bút): $C(6,3)=20$, tổng 140 cách. Trường hợp An và Bình nhận cùng loại: - Cùng (sách, sổ): không thể vì chỉ có 1 suất. - Cùng (sách, bút): chọn 1 trong 5 người còn lại nhận suất (sách, bút) thứ ba: 5 cách, rồi chọn 3 trong 5 người còn lại nhận (sổ, bút): $C(5,3)=10$, được 50 cách. - Cùng (sổ, bút): tương tự 50 cách. Tổng: $50+50=100$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số lẻ có chữ số tận cùng lẻ. Trong các chữ số 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, các chữ số lẻ là 1, 5, 7 (3 chữ số). Chọn chữ số hàng đơn vị: 3 cách. Sau đó chọn 3 chữ số khác nhau từ 6 chữ số còn lại để xếp vào 3 vị trí còn lại: A(6,3) = 6·5·4 = 120 cách. Vậy tổng số số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số khác nhau là 3 · 120 = 360 số.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số bi là $8+9+10=27$ viên. Tổng số cách chọn 3 viên bất kỳ là $C_{27}^3=2925$. Ta trừ các cách chọn mà có ít nhất hai viên cùng số.
- Cả 3 viên cùng số: chỉ xảy ra với các số $1$ đến $8$ (mỗi số có 3 viên): $8\cdot C_3^3=8$ cách.
- Đúng 2 viên cùng số: chọn số bị trùng và 2 viên trong nhóm đó, rồi chọn viên thứ ba khác số:
+ Số trùng là $1$ đến $8$ (nhóm 3 viên): $8\cdot C_3^2\cdot 24=8\cdot 3\cdot 24=576$ cách.
+ Số trùng là $9$ hoặc $10$ (nhóm 2 viên): $2\cdot C_2^2\cdot 25=50$ cách.
Vậy số cách chọn 3 viên có số đôi một khác nhau là $2925-8-576-50=2291$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Chọn tổ bất kỳ từ 14 người: $C_{14}^6=3003$ cách → Đúng. b) Không có An và Bình: chọn 6 từ 12 người còn lại, $C_{12}^6=924$ cách → Đúng. c) 'Có An hoặc Bình' hiểu là có đúng một trong hai người: chọn 1 trong 2 (An hoặc Bình) và 5 người từ 12 người còn lại: $2\cdot C_{12}^5=2\cdot 792=1584$ tổ; mỗi tổ chọn 1 tổ trưởng trong 6 người: $1584\cdot 6=9504$ cách → Đúng. d) Có cả An và Bình: chọn 4 người từ 12 người còn lại: $C_{12}^4=495$ cách, không phải 1848 → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức a Đ, b Đ, c Đ, d S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 6 người từ 14 người: $C_{14}^6=3003$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Không có An và Bình: chọn 6 người từ 12 người còn lại: $C_{12}^6=924$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Có đúng một trong hai bạn An, Bình: $2\cdot C_{12}^5=1584$ tổ; chọn tổ trưởng: $1584\cdot 6=9504$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Có cả An và Bình: $C_{12}^4=495$ cách, không phải 1848.

$C_5^2.C_{13}^2+C_5^1.C_{13}^3+C_{13}^4$. Vậy có 2925 cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số có 7 chữ số gồm đúng hai chữ số 2, ba chữ số 3, và hai chữ số còn lại khác nhau lấy từ $\{1;4;5;6\}$ (mỗi chữ số xuất hiện không quá 1 lần). Chọn vị trí cho hai chữ số 2: $C_7^2=21$ cách. Chọn vị trí cho ba chữ số 3 trong 5 vị trí còn lại: $C_5^3=10$ cách. Hai vị trí cuối được điền bởi 2 chữ số phân biệt chọn từ 4 chữ số $\{1;4;5;6\}$: $A_4^2=12$ cách. Tổng: $21\times 10\times 12=2520$, khớp với đáp án nguồn.

Số cách chọn vị trí cho chữ số 6 là: 6. Số cách chọn số (trừ 0, 9, 8, 6) cho 5 vị trí còn lại là $A_6^5$. Vậy số điện thoại có thể lập ra là: 4320. (Điểm: 0,25 + 0,25)

Cách chọn 4 học sinh trong 32 học sinh là: $C_{32}^4$. (Điểm: 0,1) Chọn ra 4 bạn, trong đó có 1 cặp song sinh, không có mặt cặp còn lại: $2.C_{28}^2$. Chọn ra 4 bạn, trong đó có 3 trong 4 bạn song sinh, 1 bạn trong 28 bạn còn lại: $\mathrm{2.2.}{C}_{28}^1$. Chọn ra 4 bạn, trong đó có đủ 2 cặp song sinh: 1. Vậy số cách chọn thỏa ycbt: $C_{32}^4-(2.C_{28}^2+\mathrm{2.2.}{C}_{28}^1+1)=35091$. (Điểm: 0,2; 0,2) Cách khác: TH1: Chọn ra 4 bạn, không có bạn nào trong 2 cặp sinh đôi: $C_{28}^4$. TH2: Chọn ra 1 bạn trong 2 cặp sinh đôi, 3 bạn trong 28 bạn còn lại: $4.C_{28}^3$. TH3: Chọn ra 2 bạn trong 2 cặp sinh đôi, nhưng không phải anh em, chọn 2 bạn trong 28 bạn còn lại: $4.C_{28}^2$. Vậy có $C_{28}^4+4.C_{28}^3+4.C_{28}^2=35091$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 quyển trong đó có ít nhất 2 quyển Toán gồm hai trường hợp:
- 2 Toán và 1 Anh: $C_5^2\cdot C_4^1=10\cdot 4=40$ cách.
- 3 Toán: $C_5^3=10$ cách.
Tổng: $40+10=50$ cách. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 210, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác không thể có 3 đỉnh cùng nằm trên một đường thẳng, nên mỗi tam giác phải có 2 đỉnh trên một đường và 1 đỉnh trên đường kia. Trường hợp 1: 2 đỉnh trên $d_1$ và 1 đỉnh trên $d_2$: $C_{12}^2\cdot C_8^1=66\cdot 8=528$. Trường hợp 2: 1 đỉnh trên $d_1$ và 2 đỉnh trên $d_2$: $C_{12}^1\cdot C_8^2=12\cdot 28=336$. Tổng số tam giác: $528+336=864$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 864.

1) Trường hợp 1: 1 nam, 2 nữ: $C_{12}^1.C_{15}^2$ — 0,25 điểm. Trường hợp 2: 2 nam, 1 nữ: $C_{12}^2.C_{15}^1$ — 0,25 điểm. Vậy có $C_{12}^1.C_{15}^2+C_{12}^2.C_{15}^1=2250$ cách chọn một nhóm tam ca đi biểu diễn, trong đó có cả nam và nữ. — 0,25 điểm.
2) $(2x-3{)}^5=C_5^0(2x{)}^5-C_5^1(2x{)}^4.3+C_5^2(2x{)}^3.3^2-C_5^3(2x{)}^2.3^3+C_5^4(2x).3^4-C_5^5.3^5$ — 0,25 điểm. $=32x^5-240x^4+720x^3-1080x^2+810x-243$ — 0,25 điểm. Khi đó hệ số của số hạng chứa $x^3$ là 720 — 0,25 điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 quyển có ít nhất 2 quyển truyện tranh (7 quyển tranh, 6 quyển trinh thám). Trường hợp 1: đúng 2 tranh và 1 trinh thám: $C_7^2\cdot C_6^1=21\cdot 6=126$. Trường hợp 2: cả 3 đều tranh: $C_7^3=35$. Tổng: $126+35=161$ cách. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 110, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn nên chữ số tận cùng phải là 0, 2 hoặc 4. TH1: tận cùng là 0, chọn 3 chữ số từ 5 chữ số còn lại xếp vào 3 vị trí đầu: $A_5^3=60$. TH2: tận cùng là 2 hoặc 4 (2 cách), chữ số hàng nghìn khác 0 và khác chữ số tận cùng nên có 4 cách, hai vị trí còn lại chọn từ 4 chữ số còn lại: $A_4^2=12$, suy ra $2\cdot 4\cdot 12=96$. Tổng: $60+96=156$ số. Khớp với đáp án B của đề (mã đề 1020, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn nên chữ số tận cùng phải là 0, 2 hoặc 4.
- Chữ số tận cùng là 0: chọn 3 chữ số còn lại từ 5 chữ số khác 0 theo thứ tự: $5\cdot 4\cdot 3=60$ số.
- Chữ số tận cùng là 2 hoặc 4: có 2 cách chọn chữ số tận cùng; chữ số hàng nghìn không được là 0 và không trùng chữ số tận cùng nên có 4 cách; hai chữ số còn lại chọn từ 4 chữ số còn lại: $4\cdot 3=12$ cách. Tổng: $2\cdot 4\cdot 4\cdot 3=96$ số.
Vậy tổng số số chẵn là $60+96=156$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1010, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 3 bi đỏ, 4 bi vàng, 5 bi xanh (tổng 12 bi).
a) Chọn 1 viên bi bất kỳ: có $3+4+5=12$ cách → Đúng.
b) Chọn 4 viên bi đủ 3 màu nghĩa là phân bố $(1,1,2)$ giữa ba màu, với ít nhất 1 bi xanh. Các trường hợp: 1 đỏ, 1 vàng, 2 xanh: $3\cdot 4\cdot C_5^2=120$; 1 đỏ, 1 xanh, 2 vàng: $3\cdot 5\cdot C_4^2=90$; 1 vàng, 1 xanh, 2 đỏ: $4\cdot 5\cdot C_3^2=60$. Tổng $120+90+60=270$ → Đúng.
c) Chọn 2 viên bi khác màu: $3\cdot 4+3\cdot 5+4\cdot 5=12+15+20=47$ → Đúng.
d) Chọn 2 viên bi cùng màu: $C_3^2+C_4^2+C_5^2=3+6+10=19\ne 12$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số bi là $3+4+5=12$ nên có 12 cách chọn 1 viên bi bất kỳ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phân bố $(1,1,2)$: $3\cdot 4\cdot C_5^2+3\cdot 5\cdot C_4^2+4\cdot 5\cdot C_3^2=120+90+60=270$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3\cdot 4+3\cdot 5+4\cdot 5=47$ cách chọn 2 bi khác màu.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C_3^2+C_4^2+C_5^2=3+6+10=19\ne 12$ nên khẳng định sai.