Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần IV): Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy không là hình thang (nên $AD$ không song song $BC$), $M$ thuộc $SA$ với $SM=\frac{1}{3}SA$.

a) Tìm giao tuyến của $(MBC)$ và $(SAD)$:
- Ta có $M\in SA\subset (SAD)$ và $M\in (MBC)$ nên $M$ là điểm chung thứ nhất.
- Vì đáy không là hình thang nên $AD$ không song song $BC$; trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $E=AD\cap BC$.
- $E\in AD\subset (SAD)$ và $E\in BC\subset (MBC)$ nên $E$ là điểm chung thứ hai.
- Vậy giao tuyến của $(MBC)$ và $(SAD)$ là đường thẳng $ME$.

b) Tìm giao điểm $N$ của $MC$ và $(SBD)$:
- Trong $(ABCD)$, gọi $F=BD\cap CE$. Vì $F\in BD\subset (SBD)$ và $F\in CE\subset (MBC)$, $F$ thuộc cả hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(MBC)$.
- Xét mặt phẳng $(SAD)$: $ME\subset (SAD)$ (chứng minh ở câu a) và $SD\subset (SAD)$; gọi $K=ME\cap SD$. Khi đó $K\in (MBC)$ (vì $K\in ME$) và $K\in (SBD)$ (vì $K\in SD$).
- Suy ra giao tuyến của $(MBC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $FK$.
- Đường thẳng $MC$ nằm trong $(MBC)$ và cắt đường thẳng $FK$ tại $N$ ($MC$ và $FK$ đồng phẳng trong $(MBC)$ và nói chung không song song).
- Vì $FK\subset (SBD)$ nên $N=MC\cap FK$ chính là giao điểm của $MC$ và $(SBD)$.

Kết luận: a) Giao tuyến là $ME$ với $E=AD\cap BC$. b) Giao điểm là $N=MC\cap FK$, trong đó $F=BD\cap CE$ và $K=ME\cap SD$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tiên đề về mặt phẳng: qua 3 điểm không thẳng hàng thì có duy nhất một mặt phẳng. A sai vì qua 2 điểm có vô số mặt phẳng; B sai vì 3 điểm phân biệt có thể thẳng hàng; D sai vì 4 điểm phân biệt bất kì không nhất thiết cùng thuộc một mặt phẳng. Vậy khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp có đáy là ngũ giác (5 đỉnh đáy) và một đỉnh đỉnh. Số mặt = 5 mặt bên + 1 mặt đáy = 6 mặt. Số cạnh = 5 cạnh đáy + 5 cạnh bên = 10 cạnh. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng (axiom về mặt phẳng). A sai vì ba điểm phân biệt có thể thẳng hàng; B sai vì điểm có thể nằm trên đường thẳng; D sai vì bốn điểm phân biệt không xác định mặt phẳng duy nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng — nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng cắt nhau theo một đường thẳng, nên có vô số điểm chung khác. B sai — nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì chúng có vô số điểm chung nhưng không có một đường thẳng chung duy nhất (mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đều chung); mệnh đề này thiếu điều kiện 'phân biệt'. C đúng — hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì cắt nhau theo đúng một đường thẳng chung. D đúng — ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng, nên hai mặt phẳng cùng đi qua chúng phải trùng nhau. Vậy mệnh đề sai là $B$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp $S.ABCD$ có 4 mặt bên $(SAB)$, $(SBC)$, $(SCD)$, $(SDA)$ nên A đúng. $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ nên $O$ thuộc cả $(SAC)$ và $(SBD)$; $S$ cũng thuộc cả hai mặt phẳng, do đó giao tuyến là $SO$, B đúng. Vì $AB//CD$ nên $AD$ cắt $BC$ tại $I$, $I$ thuộc cả $(SAD)$ và $(SBC)$, giao tuyến là $SI$, C đúng. Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng chứa $S$ và $A$ nên giao tuyến là đường thẳng $SA$, không thể là đường trung bình của $ABCD$, do đó D sai.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $G$ nằm trên đường trung tuyến $BN$, với $N$ là trung điểm của $CD$. Ta có $A\in (ACD)\cap (GAB)$. Xét đường thẳng $BG$ thuộc $(GAB)$: vì $B,G,N$ thẳng hàng và $N\in CD\subset (ACD)$ nên $BG$ cắt $(ACD)$ tại $N$, do đó $N$ cũng thuộc $(GAB)$. Vậy hai mặt phẳng có hai điểm chung phân biệt $A$ và $N$, giao tuyến là $AN$ với $N$ là trung điểm của $CD$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 9: a) Trong tam giác $ABC$, $E$, $F$ lần lượt là trung điểm $AB$, $BC$ nên $EF$ là đường trung bình, do đó $EF//AC$ — Đúng. b) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB//CD$, với $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$, giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AB$ (đồng thời song song với $CD$), không song song với $AC$ — Sai. c) Vì $BC//AD$, $BC\subset (MBC)$, $AD\subset (SAD)$, $M\in SA\subset (SAD)$ và $M\in (MBC)$, nên giao tuyến của $(MBC)$ và $(SAD)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $BC$ — Đúng. d) $M\in SA\subset (SAC)$ nên $M$ thuộc cả hai mặt phẳng; lại có $EF//AC$ với $EF\subset (MEF)$, $AC\subset (SAC)$, nên giao tuyến của $(MEF)$ và $(SAC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ — Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 7: Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình bình hành, $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $AD$, $BC$.

a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng:

• Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$:
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ đều chứa điểm $S$ (vì $S\in SA\subset (SAB)$, $S\in SD\subset (SCD)$), nên $S$ thuộc giao tuyến.
Vì $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel (SCD)$ (đường thẳng $AB$ song song với đường thẳng $CD$ nằm trong $(SCD)$ và $AB\not\subset (SCD)$). Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $\Delta$ qua $S$, nằm trong $(SAB)$, và $\Delta \parallel AB\parallel CD$.
Vậy giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$ (và $CD$).

• Giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$:
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$, nên $S$ thuộc giao tuyến.
Gọi $O=AC\cap BD$ (tâm hình bình hành, giao điểm hai đường chéo trong mặt đáy). Khi đó $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$, tức $O$ cũng thuộc giao tuyến.
Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$.

b) Tìm giao tuyến của $(SEF)$ với $(SAD)$ và $(SBC)$:
Vì $E\in AD$ nên $E\in (SAD)$; đồng thời $E\in EF\subset (SEF)$, tức $E$ là điểm chung của $(SEF)$ và $(SAD)$.
Tương tự $F\in BC\subset (SBC)$ và $F\in (SEF)$, tức $F$ là điểm chung của $(SEF)$ và $(SBC)$.
Hai mặt phẳng $(SEF)$ và $(SAD)$ đều chứa điểm $S$ và điểm $E$, mà qua hai điểm phân biệt $S$, $E$ chỉ có một đường thẳng $SE$.
Vậy giao tuyến của $(SEF)$ và $(SAD)$ là đường thẳng $SE$.
Tương tự, $(SEF)$ và $(SBC)$ cùng chứa $S$ và $F$, nên giao tuyến của $(SEF)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $SF$.

Nhận xét: Vì $E$, $F$ là trung điểm của $AD$, $BC$ và $ABCD$ là hình bình hành nên $EF\parallel AB\parallel CD$; do đó $(SEF)$ cắt $(SAB)$ theo giao tuyến qua $S$ song song với $EF$ (chính là giao tuyến với $(SAB)$ ở câu a), và cắt $(SCD)$ theo giao tuyến qua $S$ song song với $EF$ — hai giao tuyến này trùng nhau, phù hợp với kết quả câu a).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 8: a) Ta có $I\in AD\subset (JAD)$ và $I\in (IBC)$; $J\in BC\subset (IBC)$ và $J\in (JAD)$. Vậy hai điểm chung của $(IBC)$ và $(JAD)$ là $I$ và $J$, suy ra giao tuyến là đường thẳng $IJ$.

b) Xét mặt phẳng $(ABC)$: vì $M\in AB$, $N\in AC$ nên $MN\subset (ABC)$. Gọi $K=MN\cap BC$ (khi $MN$ không song song $BC$). Khi đó $K\in BC\subset (IBC)$ và $K\in MN\subset (DMN)$, tức $K$ là điểm chung thứ nhất.

Xét mặt phẳng $(ABD)$: vì $I\in AD$ nên $I\in (ABD)$, mà $I\in (IBC)$, lại có $B$ chung, nên $(ABD)\cap (IBC)=BI$. Đường thẳng $DM\subset (ABD)$, gọi $Q=DM\cap BI$. Khi đó $Q\in BI\subset (IBC)$ và $Q\in DM\subset (DMN)$, tức $Q$ là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của $(IBC)$ và $(DMN)$ là đường thẳng $KQ$, với $K=MN\cap BC$, $Q=DM\cap BI$. (Trường hợp riêng $MN\parallel BC$ thì $MN\parallel (IBC)$ và giao tuyến là đường thẳng qua $Q$ song song $BC$.)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $E$ là giao điểm của $IK$ với đường thẳng $AB$. Trong mặt phẳng $(SAB)$, vì $I\in SA$, $K\in SB$ nên $E=IK\cap AB$ xác định duy nhất. Chọn hệ quy chiếu trong mặt phẳng $(SAB)$ với $S=(0,0),A=(1,0),B=(0,1)$: $I=\left(\frac{1}{2},0\right)$, $K=\left(0,\frac{2}{3}\right)$ (do $SK=2BK\Rightarrow SK=\frac{2}{3}SB$). Đường thẳng $IK$: $2x+\frac{3}{2}y=1$; đường thẳng $AB$: $x+y=1$. Giải hệ được $x=-1,y=2$, tức $E$ nằm trên đường thẳng $AB$ kéo dài phía ngoài $A$ và $AE=2AB$ (kiểm tra bằng Menelaus trong tam giác $SAB$ với đường thẳng $IK$: $\frac{SI}{IA}\cdot \frac{AE}{EB}\cdot \frac{BK}{KS}=1\cdot \frac{AE}{EB}\cdot \frac{1}{2}=1\Rightarrow \frac{AE}{EB}=2$, phù hợp).

a) $J\in AD\subset (ABCD)$ và $J\in (IJK)$; $E=IK\cap (ABCD)$ (vì $E\in AB\subset (ABCD)$) và $E\in (IJK)$. Vậy giao tuyến của $(IJK)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng $JE$, với $E=IK\cap AB$ kéo dài, $AE=2AB$.

b) $K\in SB\subset (SBD)$ nên $K$ là điểm chung thứ nhất. Gọi $M=JE\cap BD$. Chọn hệ toạ độ trong mặt phẳng đáy: $A=(0,0),D=(4,0)$ (đáy lớn $AD$), $B=(p,h),C=(q,h)$ với $BC\parallel AD$. Khi đó $J=(3,0)$ (vì $JD=\frac{1}{4}AD=1$), $E=(2p,2h)$ (vì $AE=2AB$). Đường thẳng $JE$: $(3+t(2p-3),2th)$; đường thẳng $BD$: $(p+s(4-p),h(1-s))$. So sắp tung độ: $2t=1-s$; so sắp hoành độ: $4-8t+2pt=3+2pt-3t\Rightarrow t=\frac{1}{5}$, suy ra $s=\frac{3}{5}$. Vậy $M$ nằm trong đoạn $BD$ với $BM=\frac{3}{5}BD$. Vì $M\in JE\subset (IJK)$ và $M\in BD\subset (SBD)$, giao tuyến của $(IJK)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $KM$.

c) $K\in SB\subset (SCB)$ nên $K$ là điểm chung thứ nhất. Gọi $F=JE\cap BC$. Trong hệ toạ độ trên, giao điểm của $JE$ với đường thẳng $BC$ ($y=h$) có $t=\frac{1}{2}$, hoành độ $x=\frac{2p+3}{2}=p+\frac{3}{2}$, tức $F\in BC$ (hoặc đường thẳng $BC$) với $BF=\frac{3}{2}=\frac{3}{8}AD$ (kéo dài nếu cần). Vì $F\in JE\subset (IJK)$ và $F\in BC\subset (SCB)$, giao tuyến của $(IJK)$ và $(SCB)$ là đường thẳng $KF$.

Tóm tắt: a) Giao tuyến là $JE$ với $E=IK\cap AB$ (kéo dài), $AE=2AB$. b) Giao tuyến là $KM$ với $M=JE\cap BD$, $BM=\frac{3}{5}BD$. c) Giao tuyến là $KF$ với $F=JE\cap BC$, $BF=\frac{3}{8}AD$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABCD$ là hình thang với $AB\parallel CD$ ($AB$ là cạnh đáy lớn). Ta dùng phương pháp tìm giao tuyến bằng cách tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng.

a) Tìm giao điểm của $IK$ và $(SBD)$:
- Trong mặt phẳng đáy, gọi $E=JK\cap BD$. Vì $J\in AB\subset (SBD)$? — chính xác hơn: $E\in BD\subset (SBD)$ và $E\in JK\subset (IJK)$, nên $E$ là điểm chung của $(IJK)$ và $(SBD)$.
- Trong mặt phẳng $(SAB)$: $IJ$ và $SB$ đồng phẳng nên cắt nhau tại $P=IJ\cap SB$. Khi đó $P\in (IJK)$ và $P\in SB\subset (SBD)$, nên $P$ là điểm chung thứ hai.
- Vậy $(IJK)\cap (SBD)=PE$.
- Vì $IK\subset (IJK)$, giao điểm $T$ của $IK$ với $(SBD)$ chính là giao điểm của $IK$ với $PE$ (cùng nằm trong mặt phẳng $(IJK)$). Kết luận: $T=IK\cap PE$.

b) Tìm giao điểm của $(IJK)$ với $SD$ và $SC$:
- Giao điểm với $SD$: $SD\subset (SBD)$, mà $(SBD)\cap (IJK)=PE$, nên giao điểm $N=SD\cap PE$.
- Giao điểm với $SC$: Xét $(SBC)$: $K\in BC\subset (SBC)$ và $K\in (IJK)$; $P\in SB\subset (SBC)$ và $P\in (IJK)$. Vậy $(SBC)\cap (IJK)=PK$. Giao điểm $M$ của $SC$ với $(IJK)$ là $M=SC\cap PK$.

Nhận xét: các điểm $P$, $E$ có thể nằm ngoài các đoạn thẳng tương ứng (kéo dài các đoạn thẳng khi cần). Nếu trong vị trí cụ thể $IJ\parallel SB$ thì thay bằng cách khác, nhưng với vị trí tổng quát cách trên luôn cho kết quả.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M\in AD\subset (ABD)$ nên $M\in (ABD)$, và $B\in (ABD)$. Do đó $BM\subset (ABD)$. Mặt khác $B,M$ cũng thuộc $(BMN)$ nên $BM$ chính là giao tuyến của hai mặt phẳng $(BMN)$ và $(ABD)$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ đều chứa điểm $S$ nên giao tuyến $d$ đi qua $S$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Ta có $BC\subset (SBC)$ và $BC\parallel AD\subset (SAD)$, do đó $BC\parallel (SAD)$. Suy ra giao tuyến $d$ của $(SAD)$ và $(SBC)$ đi qua $S$ và song song với $BC$ (đồng thời cũng song song với $AD$). Vậy khẳng định đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác có 1 mặt đáy (tứ giác) và 4 mặt bên (tam giác), tổng cộng 5 mặt. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: M là trung điểm AB nên M thuộc cạnh AB, không nằm trong mặt phẳng (BCD) (tứ diện không suy biến).
b) Đúng: H ∈ AN ⊂ (ANP) và H ∈ MC ⊂ (MCQ); K ∈ AP ⊂ (ANP) và K ∈ CQ ⊂ (MCQ). Vậy H, K chung của hai mặt phẳng nên HK = (ANP) ∩ (MCQ).
c) Đúng: Trong tam giác ABC, AN và MC là hai trung tuyến nên H là trọng tâm tam giác ABC, tức $\vec{H}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}}{3}$. Tương tự K là trọng tâm tam giác ACD: $\vec{K}=\frac{\vec{A}+\vec{C}+\vec{D}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{HK}=\vec{K}-\vec{H}=\frac{\vec{D}-\vec{B}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$, nên HK ∥ BD.
d) Sai: Từ $\overrightarrow{HK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$ ta có $\frac{HK}{BD}=\frac{1}{3}\ne \frac{2}{3}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm của AB nên M không thuộc mặt phẳng (BCD).
b) (AI giải đề cho tôi)
H thuộc AN và MC, K thuộc AP và CQ, nên H, K chung của (ANP) và (MCQ); do đó HK là giao tuyến.
c) (AI giải đề cho tôi)
H, K lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD nên $\overrightarrow{HK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$, suy ra HK ∥ BD.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{HK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$ nên HK/BD = 1/3, không phải 2/3.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 3.** Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình thang $(AB\parallel CD)$; $E,F$ lần lượt là trọng tâm của $△SAD$ và $△SBC$.

**a) Chứng minh $EF\parallel MN$ và $EF\parallel AB$.**

Gọi $I$ là trung điểm của $SA$, $J$ là trung điểm của $SB$.
- $E$ là trọng tâm $△SAD$ nên $E$ nằm trên trung tuyến $SI$ với $\frac{SE}{SI}=\frac{2}{3}$.
- $F$ là trọng tâm $△SBC$ nên $F$ nằm trên trung tuyến $SJ$ với $\frac{SF}{SJ}=\frac{2}{3}$.

Xét $△SIJ$: vì $\frac{SE}{SI}=\frac{SF}{SJ}=\frac{2}{3}$, theo định lý Thales ta có $EF\parallel IJ$.

Mặt khác, trong $△SAB$, $I,J$ là trung điểm $SA,SB$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel AB$. Vậy $EF\parallel AB$. (1)

Vì $AB\parallel CD$ và $M,N$ lần lượt là trung điểm $AD,BC$ nên $MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$, do đó $MN\parallel AB$. Kết hợp với (1) suy ra $EF\parallel MN$. $■$

**b) Xác định giao tuyến $d$ của $(AEF)$ và $(SCD)$; chứng minh $d\parallel EF$.**

*Lưu ý: $E$ chỉ thuộc mặt phẳng $(SAD)$, không thuộc $(SCD)$, nên không thể dựng giao tuyến qua $E$ trong $(SCD)$; phải đi qua giao điểm của đường thẳng $AE$ với $(SCD)$.*

- Từ câu a): $EF\parallel AB$ và $AB\parallel CD$ nên $EF\parallel CD$. Vì $CD\subset (SCD)$ và $EF\not\subset (SCD)$ nên $EF\parallel (SCD)$.
- Trong mặt phẳng $(SAD)$, đường thẳng $AE$ cắt cạnh $SD$ tại điểm $P$ (vì $E$ nằm trong tam giác $SAD$, tia $AE$ cắt cạnh đối diện $SD$). Khi đó $P\in AE\subset (AEF)$ và $P\in SD\subset (SCD)$, tức $P$ thuộc giao tuyến $d=(AEF)\cap (SCD)$.
- Mặt phẳng $(AEF)$ chứa đường thẳng $EF$ với $EF\parallel (SCD)$ và cắt $(SCD)$ theo giao tuyến $d$, nên theo định lý về giao tuyến, $d\parallel EF$.

**Kết luận:** Giao tuyến $d$ là đường thẳng đi qua $P=AE\cap SD$, nằm trong mặt phẳng $(SCD)$ và song song với $EF$ (đồng thời $d\parallel CD$). $■$

(AI giải đề cho tôi)
Gắn hệ tọa độ: $A(0;0;0),B(2;0;0),D(0;2;0),C(2;2;0)$, $A^{\prime }(0;0;2),B^{\prime }(2;0;2),C^{\prime }(2;2;2),D^{\prime }(0;2;2)$. Khi đó $M(0;1;0),N(2;1;0),P(2;2;1)$.
$\overrightarrow{MN}=(2;0;0)$, $\overrightarrow{MP}=(2;1;1)$, pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}=(0;-2;2)$, nên $(MNP)$: $z=y-1$.
a) $A^{\prime }{D}^{\prime }$: $x=0,z=2$ thay vào được $y=3\notin [0;2]$, nên $(MNP)$ không cắt đoạn $A^{\prime }{D}^{\prime }$ → sai.
b) $D{D}^{\prime }$: $x=0,y=2$ thay vào được $z=1$, giao điểm $(0;2;1)$ là trung điểm $D{D}^{\prime }$ → đúng.
c) $(AB{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ qua $A$ với pháp tuyến cùng phương $(0;-1;1)$, phương trình $z=y\ne z=y-1$, hai mặt phẳng song song → đúng.
Vậy có 2 khẳng định đúng, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M,N$ là trung điểm của $CA,CB$ nên $MN\parallel AB$, suy ra mặt phẳng $(MNP)$ song song với $AB$. Trong mặt $(ABD)$, giao tuyến của $(MNP)$ với mặt này là đường thẳng qua $P$ song song với $AB$, cắt $AD$ tại $Q$ với $\frac{AQ}{AD}=\frac{BP}{BD}=\frac{2}{3}$. Vậy $(H)$ là tứ giác $MNPQ$ với $M\in AC$, $N\in BC$, $P\in BD$, $Q\in AD$.

Chọn hệ tọa độ: $B=(0,0,0)$, $C=(6,0,0)$, $A=(3,3\sqrt{3},0)$, $D=(3,\sqrt{3},2\sqrt{6})$ (tứ diện đều cạnh 6, kiểm tra $AD=\sqrt{12+24}=6$). Khi đó:
$M=\left(\frac{9}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2},0\right)$, $N=(3,0,0)$, $P=\frac{2}{3}D=\left(2,\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{4\sqrt{6}}{3}\right)$, $Q=\frac{1}{3}A+\frac{2}{3}D=\left(3,\frac{5\sqrt{3}}{3},\frac{4\sqrt{6}}{3}\right)$.

Kiểm tra: $\overrightarrow{PQ}=(1,\sqrt{3},0)$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}=(3,3\sqrt{3},0)$, độ dài $PQ=2$; $\overrightarrow{MN}=(-\frac{3}{2},-\frac{3\sqrt{3}}{2},0)$ cũng song song $AB$; bốn điểm cùng thuộc một mặt phẳng có pháp tuyến $\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}=\left(-6\sqrt{2},2\sqrt{6},-\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)$.

Diện tích $S=S_{△MNP}+S_{△MPQ}$:
- $\left|\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}\right|=\frac{3\sqrt{51}}{2}$ (vì $72+24+\frac{75}{4}=\frac{459}{4}$), nên $S_{MNP}=\frac{3\sqrt{51}}{4}$.
- $\overrightarrow{MQ}\times \overrightarrow{MP}=\left(4\sqrt{2},-\frac{4\sqrt{6}}{3},\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)$, độ dài $\sqrt{32+\frac{32}{3}+\frac{25}{3}}=\sqrt{51}$, nên $S_{MPQ}=\frac{\sqrt{51}}{2}$.

Tổng: $S=\frac{3\sqrt{51}}{4}+\frac{\sqrt{51}}{2}=\frac{5\sqrt{51}}{4}\approx 8.93$.