Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình hai căn và điều kiện tương đương (Toán học Lớp 10)
Tuyển tập 170 câu hỏi thuộc chuyên đề Phương trình hai căn và điều kiện tương đương (Đại số – Toán học Lớp 10) trích từ ngân hàng đề thi chính thức và đề thi thử các trường THPT trên toàn quốc. Chọn trực tiếp đáp án A, B, C, D bên dưới để kiểm tra kết quả và xem hướng dẫn giải chi tiết từng bước.
Dấu hiệu & kiến thức trọng tâm:Phương trình hai căn và điều kiện tương đươngPhương trình hai cănđiều kiện tương đương
(AI giải đề cho tôi) Điều kiện: 3−x≥0⇔x≤3 (khi đó x2−8x+13=(3−x)≥0 cũng tự thỏa). Bình phương hai vế: x2−8x+13=3−x⇔x2−7x+10=0⇔(x−2)(x−5)=0⇔x=2 hoặc x=5. So với điều kiện x≤3: chỉ nhận x=2. Thử lại: x=2 thì 4−16+13=1=1 và 3−2=1, thỏa mãn. Vậy x=2.
(AI giải đề cho tôi) Câu 19a: Điều kiện: x+3 ≥ 0 và 6x²−x−1 ≥ 0. Bình phương hai vế: x+3 = 6x²−x−1 ⟺ 6x²−2x−4 = 0 ⟺ 3x²−x−2 = 0 ⟺ (x−1)(3x+2)=0 ⟺ x=1 hoặc x=−2/3. Cả hai giá trị đều thỏa mãn x ≥ −3 và làm 6x²−x−1 ≥ 0 (x=1: 6−1−1=4>0; x=−2/3: 24/9+2/3−1=7/3>0). Vậy tập nghiệm S = {1; −2/3}. Câu 19b: Hàm số xác định khi x²−4 ≥ 0 và x−1 ≠ 0, tức x ≤ −2 hoặc x ≥ 2 (điều kiện x ≠ 1 đã được bao gồm). Vậy D = (−∞; −2] ∪ [2; +∞).
(AI giải đề cho tôi) Bình phương hai vế: x2+2x−3=15−5x⇔x2+7x−18=0⇔(x−2)(x+9)=0, nên x=2 hoặc x=−9. Kiểm tra điều kiện: với x=2: 5=5 thỏa; với x=−9: 60=60 thỏa. Tổng các nghiệm S=2+(−9)=−7. Đáp án B.
(AI giải đề cho tôi) Bình phương hai vế: x2−2x−3=2x2+x−3⇔x2+3x=0⇔x=0 hoặc x=−3. Kiểm tra điều kiện: với x=0, x2−2x−3=−3<0 (loại); với x=−3: hai vế bằng 12, thỏa mãn. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm, chọn A.
(AI giải đề cho tôi) Câu 30. a) Điều kiện: 2x2−4x−2≥0 và x2−x−2≥0. Bình phương hai vế: 2x2−4x−2=x2−x−2⇔x2−3x=0⇔x=0 hoặc x=3. Thử: với x=0 thì 2x2−4x−2=−2<0 (loại); với x=3 thì 2⋅9−12−2=4≥0 và 9−3−2=4≥0 (thỏa). Vậy x=3. b) Điều kiện: 2x2−5x−9≥0 và x−1≥0⇔x≥1. Bình phương hai vế: 2x2−5x−9=(x−1)2⇔2x2−5x−9=x2−2x+1⇔x2−3x−10=0⇔x=5 hoặc x=−2. Vì x≥1 nên loại x=−2. Thử x=5: 50−25−9=16=4=5−1 (thỏa). Vậy x=5.
(AI giải đề cho tôi) Bài 12. Giải các phương trình chứa căn:
a) Bình phương hai vế: 2x2+7x+1=3x2+4x−9⇔x2−3x−10=0⇔x=5 hoặc x=−2. Với x=−2: 2x2+7x+1=−5<0 (loại). Với x=5: hai vế đều bằng 86. Vậy x=5.
b) Điều kiện 2x−1≥0⇔x≥21. Bình phương: 5x2−5x=4x2−4x+1⇔x2−x−1=0⇔x=21±5. Chỉ nhận x=21+5 (thỏa x≥21). Vậy x=21+5.
c) Bình phương: −x2+77x−212=x2+x−2⇔2x2−76x+210=0⇔x2−38x+105=0⇔x=35 hoặc x=3. Kiểm tra: với x=35, hai vế bằng 1258; với x=3, hai vế bằng 10. Cả hai thỏa mãn. Vậy x∈{3;35}.
d) Điều kiện x−x2≥0⇔0≤x≤1. Bình phương: x2+25x−26=x−x2⇔2x2+24x−26=0⇔x2+12x−13=0⇔x=1 hoặc x=−13. Chỉ x=1 thuộc [0;1] (kiểm tra: hai vế bằng 0). Vậy x=1.
e) Bình phương: 4x2+8x−37=−x2−2x+3⇔5x2+10x−40=0⇔x2+2x−8=0⇔x=2 hoặc x=−4. Điều kiện −x2−2x+3≥0⇔−3≤x≤1: cả hai nghiệm đều loại. Vậy phương trình vô nghiệm.
f) Điều kiện 6−x≥0⇔x≤6. Bình phương: 2x2−13x+16=(6−x)2=x2−12x+36⇔x2−x−20=0⇔x=5 hoặc x=−4. Cả hai thỏa x≤6; kiểm tra: x=5: 1=1=6−5; x=−4: 100=10=6−(−4). Vậy x∈{−4;5}.
g) Điều kiện x−5≥0⇔x≥5. Bình phương: 3x2−33x+55=(x−5)2⇔2x2−23x+30=0⇔x=423±17, tức x=10 hoặc x=23. Chỉ x=10≥5 (kiểm tra: 25=5=10−5). Vậy x=10.
h) Điều kiện x−4≥0⇔x≥4. Bình phương: −x2+3x+1=(x−4)2⇔2x2−11x+15=0⇔x=3 hoặc x=25. Cả hai đều <4, loại. Vậy phương trình vô nghiệm.
i) Điều kiện x−3≥0⇔x≥3. Bình phương: 2x−3=(x−3)2⇔x2−8x+12=0⇔x=2 hoặc x=6. Chỉ x=6≥3 (kiểm tra: 9=3=6−3). Vậy x=6.
j) (x−3)x2+4=x2−9=(x−3)(x+3)⇔(x−3)(x2+4−(x+3))=0. • x=3: thỏa (hai vế bằng 0). • x2+4=x+3, cần x≥−3; bình phương: x2+4=x2+6x+9⇔x=−65 (thỏa x≥−3; kiểm tra: 25/36+4=169/36=13/6 và x+3=13/6). Vậy x∈{3;−65}.
(AI giải đề cho tôi) Bình phương hai vế (điều kiện cả hai biểu thức trong căn không âm): 2x2−5x+1=x2+2x−9⇔x2−7x+10=0⇔x=2 hoặc x=5. Thử lại: với x=2 thì 2x2−5x+1=8−10+1=−1<0 (loại). Với x=5 thì 2⋅25−25+1=26 và 25+10−9=26, cả hai đều không âm nên thỏa mãn. Vậy S={5}, chọn B.
(AI giải đề cho tôi) Điều kiện: x2−4x+3≥0 và 1−x≥0 (tức x≤1). Bình phương hai vế: x2−4x+3=1−x⇔x2−3x+2=0⇔(x−1)(x−2)=0, nên x=1 hoặc x=2. Với x=1: 0=0 thỏa mãn. Với x=2: 1−x=−1<0 loại. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm, chọn C.
Bình phương hai vế: 2x2+3x+1=2x2−x−4. Suy ra 4x=−5 hay x=−45. Thay x=−45 vào phương trình đã cho thấy thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=−45.
Bình phương hai vế: 2x2+3x+1=2x2−x−4. Suy ra 4x=−5 hay x=−45. Thay x=−45 vào phương trình đã cho thấy thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=−45.
Bình phương hai vế: 2x2+3x+1=2x2−x−4. Suy ra 4x=−5 hay x=−45. Thay x=−45 vào phương trình đã cho thấy thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=−45.
(AI giải đề cho tôi) Bình phương hai vế (điều kiện cả hai biểu thức trong căn không âm, tự động thỏa khi hai vế bằng nhau và bằng nhau thì cùng dấu): 2x2+x−3=x2+2x+3⇔x2−x−6=0⇔(x−3)(x+2)=0⇔x=3 hoặc x=−2. Thử lại: với x=3: 18=18 ✓; với x=−2: 3=3 ✓. Vậy S={3;−2}, tương ứng phương án C.
(AI giải đề cho tôi) Điều kiện: x−2≥0⇔x≥2. Bình phương hai vế: x2−5x+3=x−2⇔x2−6x+5=0⇔(x−1)(x−5)=0⇔x=1 hoặc x=5. Với x=1<2 (loại vì x−2=−1<0); với x=5: hai vế đều bằng 3. Vậy tập nghiệm S={5}, khớp đáp án B.
Bình phương hai vế phương trình (*), ta được: 2x2−5x+3=x2+3x−4⇔x2−8x+7=0⇔{x=1x=7. Thay lần lượt x=1,x=7 vào phương trình (*), ta thấy x=1,x=7 thỏa mãn phương trình (*). Tập nghiệm của phương trình (*) là: S={1;7}.
Bình phương hai vế của phương trình, ta được x2−2x−4=2−x (1). Ta có: (1)⇔x2−x−6=0⇔{x=3x=−2. Thay lần lượt hai giá trị trên vào pt đã cho, ta thấy chỉ có x=−2 thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=−2. CHÚ Ý: Học sinh có thể giải theo pp tương đương hệ, nếu đúng vẫn đạt điểm theo từng phần tương ứng.
Bình phương hai vế ta được x2−2x−22=x−4 hay x2−3x−18=0. Giải phương trình ta được x=−3 hoặc x=6. Thay x vào phương trình đã cho, ta thấy x=6 thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=6.
Bình phương hai vế ta được x2+8x+13=3+x hay x2+7x+10=0. Giải phương trình ta được x=−5 hoặc x=−2. Thay x vào phương trình đã cho, ta thấy x=−2 thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=−2.
(AI giải đề cho tôi) Điều kiện: x−3≥0⇔x≥3. Bình phương hai vế: x2+4x−1=x−3⇔x2+3x+2=0⇔(x+1)(x+2)=0⇔x=−1 hoặc x=−2. Cả hai nghiệm đều không thỏa mãn x≥3, nên phương trình vô nghiệm. Vậy số nghiệm là 0, chọn đáp án B.
