Đề Thi Olympic Dành Cho Học Sinh Lớp 10, Lớp 11 2025-2026 - Môn Toán Học - Lớp 10 (Sở GD&ĐT Hà Nội - Cụm THPT Số 01)

Tập xác định $D$ của hàm số $f(x)=\frac{\sqrt{2x-3}}{x-2}$ là $D=[a;+\infty )\setminus \{b\}$. Khi đó $2a+b$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Hàm số $f(x)=2x^2-4x+3$ nghịch biến trên khoảng nào?

Hàm số $y=a{x}^2+bx+2$ có đồ thị như hình vẽ



Hỏi giá trị $3a+2b$ bằng bao nhiêu?

Tập nghiệm của bất phương trình $-x^2+7x-10\ge 0$ là $[a;b]$. Hỏi tích $ab$ bằng bao nhiêu?

Phương trình $\sqrt{3x^2-4x-1}=\sqrt{2x^2-4x+3}$ có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(5;2)$ và song song với đường thẳng $3x-2y+5=0$, có phương trình tổng quát dạng $\Delta :3x-2y+m=0$. Hỏi giá trị tham số $m$ bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.



Tập giá trị của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[0;2]$ là $[a;b]$. Khi đó tổng $a+b$ bằng bao nhiêu?

Trong lớp 10B có 45 học sinh trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba môn. Số em thích đúng hai môn trong ba môn trên là bao nhiêu?

Với $x,y$ thỏa mãn hệ bất phương trình
$$\{\begin{array}{l}0\le y\le 4\\ x\ge 0\\ x-y-1\le 0\\ x+2y-10\le 0\end{array}$$
Giá trị lớn nhất của biểu thức $F(x;y)=20x+25y$ bằng bao nhiêu?

Người ta kéo dây điện từ nguồn điện ở vị trí $A$ đến $B$ rồi kéo lên vị trí $C$ là ngọn hải đăng ở Vũng Tàu để chiếu sáng ($B$ không trùng với chân ngọn hải đăng). Biết khoảng cách từ vị trí $A$ đến chân Ngọn Hải Đăng là 5 km, chiều cao Ngọn Hải Đăng là 1 km. Tiền công kéo dây điện từ $A$ đến $B$ là 2 triệu đồng/km và từ $B$ đến $C$ là 3 triệu đồng/km (hình vẽ bên). Hỏi tổng chiều dài (km) dây điện đã kéo từ $A$ đến $C$ là bao nhiêu biết tổng chi phí tiền công kéo dây điện là 13 triệu đồng?

Từ vị trí $A$ người ta quan sát một cây cao. Biết $AH=3$ (m), $HB=15$ (m), $\widehat{BAC}=40^{\circ }$ (hình vẽ bên). Hỏi chiều cao BC của cây là bao nhiêu mét? (làm tròn tới phần mười)

Cho tam giác $ABC$ có $P$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ và $M,N$ lần lượt là các điểm thỏa mãn các hệ thức $\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{NA}+x\overrightarrow{NC}=\vec{0}$. Giá trị của $x$ bằng bao nhiêu để ba điểm $M,N,P$ thẳng hàng?

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(-3;0)$, $B(3;0)$ và $C(2;6)$. Gọi $H(a;b)$ là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính $a+6b$.

Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và $AB=c$, $BC=3$, $CA=5$. Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$, hỏi $c$ bằng bao nhiêu để đường thẳng $IG$ vuông góc với đường thẳng $IC$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:x-2y-2=0$, các điểm $A(3;4),B(-1;2)$ và $C(0;1)$. Tìm tọa độ điểm $M$ nằm trên đường thẳng $d$ sao cho $P=\left|\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất?

Trong đợt hội trại “26-3” được tổ chức tại trường THPT X, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên 1 pano có dạng parabol như hình vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật $ABCD$ có kích thước $AB=2m,AD=3m$, phần còn lại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp và pano được đặt sao cho cạnh $CD$ tiếp xúc với mặt đất. Hỏi vị trí cao nhất của pano so với mặt đất là bao nhiêu mét?

Một cơ sở chiết xuất ít nhất 140 kg chất X và ít nhất 18 kg chất Y từ hai loại nguyên liệu loại I và loại II. Với mỗi tấn nguyên liệu loại I, người ta chiết xuất được 20 kg chất X và 1,2 kg chất Y. Với mỗi tấn nguyên liệu loại II, người ta chiết xuất được 10 kg chất X và 3 kg chất Y. Giá mỗi tấn nguyên liệu loại I là 12 triệu đồng và loại II là 8 triệu đồng. Hỏi người ta phải dùng ít nhất bao nhiêu triệu đồng để mua nguyên liệu mà vẫn đạt mục tiêu đề ra. Biết rằng cơ sở nhập nguyên liệu tối đa 9 tấn nguyên liệu loại I và tối đa 8 tấn nguyên liệu loại II. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Cho tứ giác lồi $ABCD$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại điểm $O$. Gọi điểm $H$, $K$ lần lượt là trực tâm các tam giác $ABO$ và $CDO$. Gọi điểm $I,J$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AD$ và $BC$. Chứng minh đường thẳng $HK$ vuông góc đường thẳng $IJ$.

Cho tam giác $ABC$ có $AB=c$, $BC=a$, $CA=b$. Gọi $M$ là điểm nằm trên đoạn $BC$ sao cho $MC=2MB$ và $I$ là trung điểm của $AM$. Biết $IB$ vuông góc $IC$. Chứng minh $6b^2+3c^2=11a^2$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hình bình hành $ABCD$ có $AC=2AB$. Phương trình đường chéo $(BD):x-4=0$. Gọi $E\left(\frac{5}{2};7\right)$ là điểm thuộc đoạn $AC$ thỏa mãn $AC=4AE$, gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Biết điểm $M$ nằm trên đường thẳng $2x+y-18=0$ và $S_{BEDC}=36$. Tìm tọa độ điểm $B$ biết tung độ $y_B<2$?