Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 132:

a) Tại $x=2$: $f(2)=1$.
Tử số: $2-7x+5x^2-x^3=-(x^3-5x^2+7x-2)$. Thử $x=2$: $8-20+14-2=0$, nên $x^3-5x^2+7x-2=(x-2)(x^2-3x+1)$. Mẫu số: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.
Do đó với $x\ne 2$:
$$f(x)=\frac{-(x-2)(x^2-3x+1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{-(x^2-3x+1)}{x-1}.$$
Giới hạn tại $x=2$: ${\lim }_{x\to 2}f(x)=\frac{-(4-6+1)}{2-1}=\frac{-(-1)}{1}=1$.
Vì ${\lim }_{x\to 2}f(x)=1=f(2)$, hàm số liên tục tại $x=2$.

b) Tại $x=5$: $f(5)=(5-5{)}^2+3=3$.
Giới hạn trái: ${\lim }_{x\to 5^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 5^{-}}[(x-5{)}^2+3]=3$.
Giới hạn phải: với $x>5$,
$$\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\frac{x-5}{\sqrt{2x-1}-3}=\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\frac{(x-5)\left(\sqrt{2x-1}+3\right)}{(2x-1)-9}=\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\frac{(x-5)\left(\sqrt{2x-1}+3\right)}{2(x-5)}=\frac{3+3}{2}=3.$$
Vì ${\lim }_{x\to 5^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 5^{+}}f(x)=f(5)=3$, hàm số liên tục tại $x=5$.

Kết luận: a) liên tục tại $x=2$; b) liên tục tại $x=5$.

Ghi chú: tính toán $-(4-6+1)=-(-1)=1$ là chính xác, khớp với $f(2)=1$, nên kết luận liên tục tại $x=2$ là đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 133.

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ (mẫu $x^3+1\ne 0$ khi $x\ne -1$, và tại $x=-1$ hàm được định nghĩa $f(-1)=\frac{4}{3}$).

Với $x\ne -1$, hàm số là hàm phân thức nên liên tục. Xét tại $x=-1$:
$$\underset{x\to -1}{\lim }f(x)=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^3+x+2}{x^3+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{(x+1)(x^2-x+2)}{(x+1)(x^2-x+1)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2-x+2}{x^2-x+1}=\frac{1+1+2}{1+1+1}=\frac{4}{3}.$$

Vì ${\lim }_{x\to -1}f(x)=\frac{4}{3}=f(-1)$ nên hàm số liên tục tại $x=-1$. Kết luận: hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Trên mỗi khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, hàm số là hàm đa thức nên liên tục. Xét tại $x=2$:
$$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }(x^2-3x+4)=4-6+4=2,$$
$$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }(2x+1)=5.$$

Vì ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)\ne {\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)$ nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)$ không tồn tại, do đó hàm số không liên tục tại $x=2$ (dù $f(2)=5={\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)$).

Kết luận: hàm số liên tục trên các khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, gián đoạn tại $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 2}f(x)=f(2)=m$. Với $x\ne 2$: $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$, nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)=2+2=4$. Vậy $m=4$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 1$: $x^3-x^2+2x-2=x^2(x-1)+2(x-1)=(x-1)(x^2+2)$, nên $f(x)=x^2+2$ khi $x\ne 1$. Do đó $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=1^2+2=3$. Hàm số liên tục tại $x_0=1$ khi và chỉ khi $f(1)=3+m=3$, suy ra $m=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=x+\frac{1}{x}$ không xác định tại $x=0$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. B) $y=\sqrt{2-x}$ chỉ xác định khi $x\le 2$, không liên tục trên $\mathbb{R}$. C) $y=\frac{2x+1}{x-7}$ không xác định tại $x=7$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. D) $y=x+7$ là hàm đa thức, xác định và liên tục trên mọi khoảng, tức liên tục trên $(-\infty ;+\infty )$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 1$: $f(x)=\frac{x^2-x}{x-1}=\frac{x(x-1)}{x-1}=x$, nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)=1$. Mà $f(1)=1$, nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)=f(1)$, hàm số liên tục tại $x=1$. Vậy khẳng định A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 2}f(x)=f(2)=m$. Với $x\ne 2$: $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$, nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)=2+2=4$. Vậy $m=4$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$: $\frac{x^2-3x+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2$, nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=1-2=-1$. Vì $f(1)=m$ nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=m$. Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)$, tức $m=-1$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=3$ khi ${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)=f(3)$.

Tính giới hạn phải: ${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{\sqrt{5x+1}-\sqrt{4x+4}}{2x-6}$ (dạng $\frac{0}{0}$). Nhân liên hợp:
$$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{(5x+1)-(4x+4)}{(2x-6)(\sqrt{5x+1}+\sqrt{4x+4})}=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{x-3}{2(x-3)(\sqrt{5x+1}+\sqrt{4x+4})}=\frac{1}{2(4+4)}=\frac{1}{16}.$$

Giới hạn trái: ${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)=m-\frac{21\cdot 3}{16}=m-\frac{63}{16}$, và $f(3)=m-\frac{63}{16}$.

Để liên tục: $m-\frac{63}{16}=\frac{1}{16}\Rightarrow m=\frac{64}{16}=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$: $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-2}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}=x-1$. Khi đó ${\lim }_{x\to 2}f(x)=2-1=1$. Hàm số liên tục tại $x=2$ khi và chỉ khi $f(2)=a={\lim }_{x\to 2}f(x)=1$. Vậy $a=1$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{2x^2-5x-3}{x^2-7x+12}$ khi $x<3$ và $f(x)=mx+3$ khi $x\ge 3$.

a) Với $x<3$: tử $2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3)$, mẫu $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$. Trên $(-\infty ;3)$ mẫu khác $0$ (nghiệm $x=3,4$ đều không thuộc khoảng), hàm phân thức hữu tỉ liên tục. → Đúng.

b) Trên $[3;+\infty )$, $f(x)=mx+3$ là hàm đa thức, liên tục tại mọi điểm của $[3;+\infty )$ (liên tục phải tại $x=3$) với mọi $m$. → Đúng.

c) Tương tự b), tại mọi $x_0\in [3;+\infty )$ ta có ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=f(x_0)=m{x}_0+3$ với mọi $m$. → Đúng.

d) ${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 3^{-}}\frac{(2x+1)(x-3)}{(x-3)(x-4)}=\frac{7}{-1}=-7$. Để liên tục tại $x=3$ cần $f(3)=3m+3=-7\Rightarrow m=-\frac{10}{3}$, không phải $m=7$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;3)$ mẫu $(x-3)(x-4)\ne 0$, hàm phân thức hữu tỉ liên tục với mọi $m$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[3;+\infty )$, $f(x)=mx+3$ là hàm đa thức nên liên tục (liên tục phải tại $x=3$) với mọi $m$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại mọi $x_0\ge 3$, ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=m{x}_0+3=f(x_0)$ với mọi $m$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)=\frac{2\cdot 3+1}{3-4}=-7$; cần $3m+3=-7\Rightarrow m=-\frac{10}{3}\ne 7$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\le 2$, $f(x)=x$ nên $f(2)=2$ → a đúng. Với $x>2$: $f(3)=\frac{9+12-12}{9-4}=\frac{9}{5}\ne \frac{4}{5}$ → b sai. Trên khoảng $(2,+\infty )$, $f(x)=\frac{(x+6)(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+6}{x+2}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định và liên tục tại $x=3$ → c đúng. Tại $x=2$: $f(2)=2$; giới hạn trái ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=2$; giới hạn phải ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{x+6}{x+2}=\frac{8}{4}=2$. Cả ba giá trị bằng nhau nên hàm số liên tục tại $x=2$ → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $2\le 2$ nên dùng nhánh $f(x)=x$, suy ra $f(2)=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(3)=\frac{3^2+4\cdot 3-12}{3^2-4}=\frac{9}{5}\ne \frac{4}{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>2$, $f(x)=\frac{x+6}{x+2}$ (rút gọn) là hàm phân thức liên tục tại $x=3$ vì mẫu khác 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(2)=2$, ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=2$, ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{x+6}{x+2}=2$, ba giá trị bằng nhau nên hàm liên tục tại $x=2$.

Chọn C
Hàm số xác định khi $x^3-4x\ne 0\Rightarrow x\ne 0;x\ne \pm 2$. Vậy hàm số không liên tục tại điểm $x=0;x=\pm 2$

Có $f(0)=\frac{1}{16}\left(m^2-3m\right)$
$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4-\sqrt{x^2+16}}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{16-x^2-16}{x^2\left(4+\sqrt{x^2+16}\right)}=-\frac{1}{8}$$
Để hàm số liên tục tại $x_0=0$ nên $f(0)=\underset{x\to 0}{\lim }f(x)\iff \frac{1}{6}\left(m^2-3m\right)=-\frac{1}{8}\Rightarrow \left[\begin{array}{c}m=1\\ m=2\end{array}\right]$
Kết quả: 1

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=f(2)$. Với $x\ne 2$: $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$, nên $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4$. Do đó cần $3m=4\Rightarrow m=\frac{4}{3}\approx 1,33$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=1$ nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)=f(1)$. Theo giả thiết ${\lim }_{x\to 1}f(x)=5$, suy ra $f(1)=5$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên mỗi miền $x<-4$ và $x>-4$ (hàm phân thức liên tục trên $x<-4$ vì $x-4\ne 0$, hàm đa thức liên tục trên $x\ge -4$). Chỉ cần xét tại $x=-4$. Giới hạn trái: ${\lim }_{x\to -4^{-}}\frac{3x+2}{x-4}=\frac{-12+2}{-8}=\frac{5}{4}$. Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to -4^{+}}(x^2+5x-2)=16-20-2=-6=f(-4)$. Vì $\frac{5}{4}\ne -6$ nên hàm số gián đoạn tại $x_0=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, không xác định tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. Các hàm còn lại: $y=x^2-x-3$ là đa thức, $y=\frac{x-2}{x^2+1}$ có mẫu $x^2+1>0$ với mọi $x$, và $y=\sin 2x$ đều liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$: $f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}=\frac{(x-1)(x-3)}{x-1}=x-3$ (với $x\ne 1$). Do đó ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(x-3)=-2$. Với $x\le 1$: $f(x)=ax-3$, nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a-3$ và $f(1)=a-3$. Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=f(1)$, tức $-2=a-3\iff a=1$. Vậy $a=1$.