Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{5x+1}-\sqrt{4x+4}}{2x-6}& \text{khi }x>3\\ m-\frac{21x}{16}& \text{khi }x\le 3\end{array}$. Tìm giá trị $m$ để hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=3$ khi ${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)=f(3)$.

Tính giới hạn phải: ${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{\sqrt{5x+1}-\sqrt{4x+4}}{2x-6}$ (dạng $\frac{0}{0}$). Nhân liên hợp:
$$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{(5x+1)-(4x+4)}{(2x-6)(\sqrt{5x+1}+\sqrt{4x+4})}=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{x-3}{2(x-3)(\sqrt{5x+1}+\sqrt{4x+4})}=\frac{1}{2(4+4)}=\frac{1}{16}.$$

Giới hạn trái: ${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)=m-\frac{21\cdot 3}{16}=m-\frac{63}{16}$, và $f(3)=m-\frac{63}{16}$.

Để liên tục: $m-\frac{63}{16}=\frac{1}{16}\Rightarrow m=\frac{64}{16}=4$.