Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:

a) $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2-7x+5x^2-x^3}{x^2-3x+2}& khix\ne 2\\ 1& khix=2\end{array}$ (tại $x=2$)

b) $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x-5}{\sqrt{2x-1}-3}& khix>5\\ (x-5{)}^2+3& khix\le 5\end{array}$ (tại $x=5$)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 132:

a) Tại $x=2$: $f(2)=1$.
Tử số: $2-7x+5x^2-x^3=-(x^3-5x^2+7x-2)$. Thử $x=2$: $8-20+14-2=0$, nên $x^3-5x^2+7x-2=(x-2)(x^2-3x+1)$. Mẫu số: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.
Do đó với $x\ne 2$:
$$f(x)=\frac{-(x-2)(x^2-3x+1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{-(x^2-3x+1)}{x-1}.$$
Giới hạn tại $x=2$: ${\lim }_{x\to 2}f(x)=\frac{-(4-6+1)}{2-1}=\frac{-(-1)}{1}=1$.
Vì ${\lim }_{x\to 2}f(x)=1=f(2)$, hàm số liên tục tại $x=2$.

b) Tại $x=5$: $f(5)=(5-5{)}^2+3=3$.
Giới hạn trái: ${\lim }_{x\to 5^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 5^{-}}[(x-5{)}^2+3]=3$.
Giới hạn phải: với $x>5$,
$$\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\frac{x-5}{\sqrt{2x-1}-3}=\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\frac{(x-5)\left(\sqrt{2x-1}+3\right)}{(2x-1)-9}=\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\frac{(x-5)\left(\sqrt{2x-1}+3\right)}{2(x-5)}=\frac{3+3}{2}=3.$$
Vì ${\lim }_{x\to 5^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 5^{+}}f(x)=f(5)=3$, hàm số liên tục tại $x=5$.

Kết luận: a) liên tục tại $x=2$; b) liên tục tại $x=5$.

Ghi chú: tính toán $-(4-6+1)=-(-1)=1$ là chính xác, khớp với $f(2)=1$, nên kết luận liên tục tại $x=2$ là đúng.