Tìm giới hạn các hàm số sau

a) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1-\sqrt{x^2+3}}{-x^2+3x-2}$

b) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x^2-4}$

c) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-\sqrt{x+2}}{x^3-8}$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 130 (lời giải do AI cung cấp, trang 27 chỉ in đề):

a) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1-\sqrt{x^2+3}}{-x^2+3x-2}$

Khi $x\to 1$: tử số $1-\sqrt{x^2+3}\to 1-\sqrt{4}=-1\ne 0$; mẫu số $-x^2+3x-2=-(x-1)(x-2)\to 0$.

Xét dấu hai phía:
- Với $x\to 1^{-}$: $(x-1)(x-2)>0$ nên mẫu số âm, do đó $\frac{1-\sqrt{x^2+3}}{-x^2+3x-2}\to \frac{-1}{0^{-}}=+\infty$.
- Với $x\to 1^{+}$: $(x-1)(x-2)<0$ nên mẫu số dương, do đó biểu thức $\to \frac{-1}{0^{+}}=-\infty$.

Hai giới hạn một bên khác nhau, nên $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1-\sqrt{x^2+3}}{-x^2+3x-2}$ không tồn tại.

b) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x^2-4}$

Nhân liên hợp:
$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(4x+1)-9}{(x^2-4)\left(\sqrt{4x+1}+3\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4(x-2)}{(x-2)(x+2)\left(\sqrt{4x+1}+3\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4}{(x+2)\left(\sqrt{4x+1}+3\right)}=\frac{4}{4\cdot 6}=\frac{1}{6}.$$

c) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-\sqrt{x+2}}{x^3-8}$

Nhân liên hợp với $x+\sqrt{x+2}$:
$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-(x+2)}{(x^3-8)\left(x+\sqrt{x+2}\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x^2+2x+4)\left(x+\sqrt{x+2}\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x+1}{(x^2+2x+4)\left(x+\sqrt{x+2}\right)}=\frac{3}{12\cdot 4}=\frac{1}{16}.$$

Kết quả: a) không tồn tại (trái $+\infty$, phải $-\infty$); b) $\frac{1}{6}$; c) $\frac{1}{16}$.