Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(n)=-20n^2+480n$ là parabol với hệ số $a=-20<0$ nên đạt GTLN tại đỉnh $n=-\frac{b}{2a}=-\frac{480}{-40}=12\in (0;+\infty )$. Khi đó $f(12)=-20\cdot 144+480\cdot 12=-2880+5760=2880$. Vậy GTLN của hàm số trên $(0;+\infty )$ là $2880$.

(AI giải đề cho tôi)
Độ cao $h(t)=2+24,5t-4,9t^2$ là hàm bậc hai với hệ số $a=-4,9<0$ nên đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh $t=-\frac{24,5}{2\cdot (-4,9)}=\frac{24,5}{9,8}=2,5$ giây. Hoặc dùng đạo hàm: $h^{\prime }(t)=24,5-9,8t=0\Rightarrow t=2,5$. Vậy sau $2,5$ giây vật đạt độ cao lớn nhất (độ cao lớn nhất $h(2,5)=2+61,25-30,625=32,625$ m).

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu: $R(x)=x\cdot P(x)=x(\mathrm{50.000.000}-5000x)=\mathrm{50.000.000}x-5000x^2$. Đây là hàm bậc hai với $a=-5000<0$, đạt max tại $x=\frac{\mathrm{50.000.000}}{2\cdot 5000}=5000$. Khi đó $R(5000)=5000\cdot (\mathrm{50.000.000}-\mathrm{25.000.000})=5000\cdot \mathrm{25.000.000}=\mathrm{125.000.000.000}$ VND $=125$ tỷ VND. Vậy doanh thu tối đa là 125 tỷ VND.

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền hãng thu được: $f(x)=x(4800-4x)=4800x-4x^2=-4(x^2-1200x)=-4(x-600{)}^2+1440000$. Hàm số bậc hai với $a=-4<0$ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh $x=600$ (thỏa $x\in {\mathbb{N}}^{\ast },x<2000$). Vậy đại lí cần nhập 600 chiếc điện thoại, khi đó số tiền lớn nhất là $1440000$ nghìn đồng (1,44 tỷ đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: parabol có đỉnh $\left(-\frac{3}{2};6\right)$, cắt trục hoành tại $x=-4$ và $x=1$, cắt trục tung tại $y=4$, nên $f(x)=-(x+4)(x-1)=-x^2-3x+4$ (kiểm tra: $f(0)=4$, $f\left(-\frac{3}{2}\right)=6$).
a) Sai: parabol quay xuống nên hàm số nghịch biến trên $\left(-\frac{3}{2};+\infty \right)$.
b) Đúng: $f(x)=5\iff -x^2-3x+4=5\iff x^2+3x+1=0$, hai nghiệm $x=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$ đều âm và phân biệt.
c) Đúng: $f(0)=4$.
d) Sai: trên $[-1;1]$ hàm nghịch biến nên $\max f=f(-1)=6$, $\min f=f(1)=0$. Khi đó $M=\max (5-2f)=5-0=5$, $m=\min (5-2f)=5-12=-7$, nên $2M+m=10-7=3\ne 8$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Parabol quay xuống với đỉnh $\left(-\frac{3}{2};6\right)$ nên hàm số nghịch biến trên $\left(-\frac{3}{2};+\infty \right)$, không đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=-x^2-3x+4$, phương trình $f(x)=5$ cho $x^2+3x+1=0$ có hai nghiệm $\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$ đều âm phân biệt.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ 4, và $f(0)=-0^2-0+4=4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;1]$ hàm nghịch biến: $\max f=f(-1)=6$, $\min f=f(1)=0$. Suy ra $M=5$, $m=-7$, nên $2M+m=3\ne 8$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $h(x)=12x-x^2=36-(x-6{)}^2$ là parabol có đỉnh tại $x=6$, hướng xuống dưới. Vì $x=6\in [2;8]$ nên $h(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=6$, với $h(6)=36-0=36$ (triệu đồng). So sánh: $h(2)=20$, $h(8)=32$, đều nhỏ hơn 36. Vậy cửa hàng có thu nhập cao nhất vào thứ 6, khớp với đáp án nguồn (cột 5 của mã đề tương ứng là 6).

(AI giải đề cho tôi)
$v(t)=-3t^2+18t+2$ là parabol bậc hai với hệ số $a=-3<0$ nên đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh $t=\frac{-b}{2a}=\frac{-18}{-6}=3$ (giây). Khi đó $v_{\max }=-27+54+2=29$. Vậy sau 3 giây chất điểm đạt vận tốc lớn nhất, khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-2x^2+4x+1$ là hàm bậc hai với $a=-2<0$ nên parabol có bề lõm hướng xuống, bảng biến thiên phải đi lên rồi đi xuống (tăng rồi giảm). Đỉnh tại $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2(-2)}=1$, giá trị lớn nhất $y(1)=-2+4+1=3$. Giới hạn khi $x\to \pm \infty$ là $-\infty$. Vậy bảng biến thiên đúng là bảng có đỉnh $x=1$, giá trị đỉnh $3$, hàm số đồng biến trên $(-\infty ;1)$ và nghịch biến trên $(1;+\infty )$, tức là bảng A. Khớp với đáp án nguồn (Câu 15, Mã đề 1001: A).

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận mỗi tháng: $P(x)=(x-40)(120-x)=-x^2+160x-4800$, với $40\le x\le 120$. Hàm bậc hai có đỉnh tại $x=\frac{160}{2}=80$, khi đó $P(80)=40\cdot 40=1600$ (nghìn đồng) là lớn nhất. Vậy cửa hàng nên bán mỗi đôi giày giá 80 nghìn đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận: $P(x)=150x-T(x)=150x-(x^2+20x+4000)=-x^2+130x-4000$. Hàm bậc hai với $a=-1<0$ đạt max tại $x=\frac{-130}{2(-1)}=65$. Khi đó $P(65)=-65^2+130\cdot 65-4000=-4225+8450-4000=225$ nghìn đồng. Khớp với đáp án nguồn 225.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $x^2-2x+5=(x-1{)}^2+4\ge 4$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, do đó $\sqrt{x^2-2x+5}\ge 2$, dấu bằng khi $x=1$. Vậy $y=3+\sqrt{x^2-2x+5}\ge 3+2=5$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $5$, đạt được tại $x=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 3102, câu 6 phần III: 5).

Chọn B.

- Parabol có bề lõm hướng lên. Loại đáp án C.
- Đỉnh của parabol là điểm $\left(1;-3\right)$. Xét các đáp án A, B và D, đáp án B thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu khi bán $x$ sản phẩm là $R(x)=x\cdot p(x)=x(400-2x)$. Với $x=20$: $R(20)=20\cdot (400-2\cdot 20)=20\cdot 360=7200$ (triệu đồng). Vậy đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 1010 (12.A).

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận khi bán mỗi vòng tay giá $x$ (ngàn đồng, $20\le x\le 100$) là $$P(x)=(x-20)\cdot q(x)=(x-20)(100-x)=-x^2+120x-2000.$$ Hàm bậc hai có đỉnh tại $x=\frac{120}{2}=60$, khi đó $$P(60)=(60-20)(100-60)=40\cdot 40=1600.$$ Vậy lợi nhuận lớn nhất là $1600$ ngàn đồng, khớp với đáp án nguồn (Câu 4: 1600).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $h(t)=-4,9t^2+17,64t$ là parabol có đỉnh tại $t=-\frac{17,64}{2\cdot (-4,9)}=1,8$ (giây), độ cao lớn nhất $h(1,8)=-4,9\cdot 3,24+17,64\cdot 1,8=-15,876+31,752=15,876$ m.
a) Đúng: độ cao lớn nhất là 15,876 m.
b) Sai: $h(1)=-4,9+17,64=12,74$ m, không phải 12,47 m.
c) Sai: độ cao lớn nhất đạt tại $t=1,8$ giây, không phải 2 giây.
d) Sai: $h(3,5)=-4,9\cdot 12,25+17,64\cdot 3,5=-60,025+61,74=1,715\ne 0$, bóng chưa chạm đất (bóng chạm đất khi $t=17,64/4,9=3,6$ giây). Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.
a) Đỉnh parabol tại $t=1,8$ s, $h(1,8)=15,876$ m nên độ cao lớn nhất là 15,876 m.
b) $h(1)=-4,9+17,64=12,74$ m $\ne$ 12,47 m.
c) Độ cao lớn nhất đạt tại $t=1,8$ giây, không phải 2 giây.
d) $h(3,5)=1,715$ m $\ne$ 0; bóng chạm đất tại $t=3,6$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu: $R(x)=x\cdot T(x)=x(-200x+560)=-200x^2+560x$ (nghìn triệu đồng), với $x>0$. Hàm bậc hai với $a=-200<0$ đạt max tại $x=-\frac{560}{2(-200)}=1,4$. Vậy công ty cần bán $1,4$ nghìn sản phẩm (1400 sản phẩm) để doanh thu lớn nhất, doanh thu lớn nhất $R(1,4)=392$ (nghìn triệu đồng). Kết quả trùng với đáp án nguồn 1,4.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần II):
a) Hàm số $y=(m-1)x^2+2x+3m$ là hàm bậc hai khi và chỉ khi hệ số của $x^2$ khác 0, tức $m-1\ne 0\iff m\ne 1$. Đúng.
b) $y=-3x^2+2x+1$ là đa thức nên xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, do đó $D=\mathbb{R}$. Đúng.
c) Biểu thức dưới căn: $x^2+2x+2=(x+1{)}^2+1>0$ với mọi $x$; mẫu số $x^2+1>0$ với mọi $x$. Vậy hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, tức $D=\mathbb{R}$, không phải $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Sai.
d) $y=2x^2-4x+m=2(x-1{)}^2+m-2$ có giá trị nhỏ nhất $m-2$. Tập giá trị là $[m-2;+\infty )$. Để $T=[9;+\infty )$ thì $m-2=9\iff m=11\ne 3$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm bậc hai yêu cầu hệ số $m-1\ne 0\iff m\ne 1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đa thức nên $D=\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x^2+2x+2=(x+1{)}^2+1>0$ và $x^2+1>0$ với mọi $x$, nên $D=\mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=2(x-1{)}^2+m-2$ có min $=m-2$; cần $m=11$, không phải $m=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=-x^2+2x+3$ với $a=-1<0$ nên parabol có bề lõm hướng xuống dưới.

1) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

2) Đạo hàm: $y^{\prime }=-2x+2$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow x=1$. Với $x<1$ thì $y^{\prime }>0$; với $x>1$ thì $y^{\prime }<0$.

3) Bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;1)$, nghịch biến trên $(1;+\infty )$. Giá trị lớn nhất $y_{\max }=y(1)=-1+2+3=4$. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất; khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to -\infty$.

4) Đồ thị (P):
- Đỉnh $I(1;4)$.
- Giao với trục $Oy$: thay $x=0$ được $y=3$, điểm $(0;3)$.
- Giao với trục $Ox$: giải $-x^2+2x+3=0\iff x^2-2x-3=0\iff (x-3)(x+1)=0\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=3$, tức hai điểm $(-1;0)$ và $(3;0)$.
- Trục đối xứng: đường thẳng $x=1$.

Vẽ: lấy các điểm $(-1;0)$, $(0;3)$, đỉnh $I(1;4)$, $(2;3)$ (đối xứng với $(0;3)$ qua $x=1$), $(3;0)$; nối bằng đường cong parabol bề lõm hướng xuống dưới, đối xứng qua trục $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol có bề lõm hướng xuống (hệ số a < 0), đỉnh tại điểm (2; 1) và cắt trục hoành tại x = 1 và x = 3. Kiểm tra phương án A: y = -x² + 4x - 3 có a = -1 < 0, đỉnh x = -4/(2·(-1)) = 2, y(2) = -4 + 8 - 3 = 1, nghiệm y = 0 khi x² - 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3, đồng thời y(0) = -3 khớp với giao điểm với trục tung. Vậy đồ thị là của hàm số y = -x² + 4x - 3. Các phương án B, C có a > 0 (parabol hướng lên), phương án D có đỉnh (1; -2) không khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol hướng lên với đỉnh tại $x=1$ (giá trị nhỏ nhất $-4$). Do đó hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty )$. Vậy mệnh đề đúng là C.