Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau đôi một lập từ các chữ số 0,1,2,3,4,5: chữ số đầu có 5 cách (khác 0), ba chữ số sau lần lượt 5, 4, 3 cách, nên tổng là $5\cdot 5\cdot 4\cdot 3=300$. Số chia hết cho 5 phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5: - Tận cùng 0: $5\cdot 4\cdot 3=60$ số. - Tận cùng 5: chữ số đầu khác 0 và 5 nên có 4 cách, hai chữ số giữa có $4\cdot 3=12$ cách, được $4\cdot 4\cdot 3=48$ số. Vậy số chia hết cho 5 là $60+48=108$. Số không chia hết cho 5 là $300-108=192$.

(AI giải đề cho tôi)
Số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1,2,3,4,5 là số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử: $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Có 25 điểm nguyên trong hình vuông $1\le x\le 5$, $1\le y\le 5$. Số tam giác = số bộ 3 điểm không thẳng hàng $=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{25}{3}\right)-$ (số bộ 3 điểm thẳng hàng).

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{25}{3}\right)=\frac{25\cdot 24\cdot 23}{6}=2300$.

Đếm các bộ 3 điểm thẳng hàng:
- Các hàng ngang: 5 hàng, mỗi hàng có 5 điểm cho $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=10$ bộ, tổng $50$.
- Các hàng dọc: tương tự $50$.
- Các đường chéo hướng $//$ (hệ số góc $1$): các đường chéo có độ dài $5,4,3,2,1,2,3,4,5$ điểm; số bộ 3 thẳng hàng trên đường chéo độ dài $n$ là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)$, nên tổng $=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=10+4+1+1+4+10=30$.
- Các đường chéo hướng $\backslash$ (hệ số góc $-1$): tương tự $30$.

Tổng bộ 3 điểm thẳng hàng $=50+50+30+30=160$.

Vậy số tam giác $=2300-160=2140$.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện ABCD có 4 đỉnh, mỗi cặp đỉnh nối với nhau bởi một cạnh nên số cạnh là $C_4^2=6$: các cạnh AB, AC, AD, BC, BD, CD. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Số học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn là $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=25+17-8=34$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gia đình có 10 em bé nên có 10 con heo đất (phân biệt nhau theo từng em bé). Có 10 tờ tiền: 4 tờ 500000 đồng giống nhau và 6 tờ 100000 đồng giống nhau.

a) Mỗi con heo đất nhận đúng 1 tờ tiền:
Vì các tờ tiền cùng mệnh giá giống nhau, một cách bỏ tương ứng với việc chọn 4 trong 10 con heo đất để nhận tờ 500000 đồng (các con heo còn lại nhận tờ 100000 đồng). Số cách:
$$N_a=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4}\right)=210.$$

b) Có đúng 2 con heo đất không nhận được tờ tiền nào:
- Chọn 2 con heo đất không nhận tờ nào: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)=45$ cách.
- Phân 4 tờ 500000 và 6 tờ 100000 vào 8 con heo đất còn lại, mỗi con nhận ít nhất 1 tờ.

Đếm số cách phân vào 8 con heo (mỗi con nhận ít nhất 1 tờ). Xét cách phân các tờ 500000 trước: số tờ 500000 vào mỗi con heo là $a_i\ge 0$, $\sum a_i=4$. Nếu vector $(a_i)$ có đúng $m$ vị trí bằng 0 thì các con heo đó buộc phải nhận tờ 100000. Số vector $(a_i)$ có đúng $m$ phần tử bằng 0 là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{m}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{7-m}\right)$ (với $m=4,5,6,7$). Với mỗi such vector, số cách phân 6 tờ 100000 sao cho $m$ con heo có $a_i=0$ nhận ít nhất 1 tờ là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13-m}{7}\right)$.

$$\begin{array}{rl}N& =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{7}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{5}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{7}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{6}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{7}\right)\\ & =70\cdot 1\cdot 36+56\cdot 3\cdot 8+28\cdot 3\cdot 1=2520+1344+84=3948.\end{array}$$

(Kiểm tra bằng bao hàm - loại trừ: ${\sum }_{j=0}^7(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{j}\left)\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{11-j}{7-j}\left)\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{13-j}{7-j})=3948$.)

Vậy số cách ở câu b):
$$N_b=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)\cdot 3948=45\cdot 3948=177660.$$

Kết luận: a) Có $210$ cách; b) Có $177660$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 7: Ba chân đế có đủ ba màu xanh, đỏ, vàng nên ba chân đế phân biệt nhau. Vì tổng cộng chỉ có 15 lá cờ nên ràng buộc 'mỗi chân đế cắm tối đa 15 lá' luôn tự động thỏa mãn.

a) Xét từng màu cờ: 5 lá cờ cùng màu giống nhau, cắm vào 3 chân đế phân biệt <=> tìm số nghiệm không âm của $x_1+x_2+x_3=5$, số cách là $C_{5+3-1}^{3-1}=C_7^2=21$. Ba màu cờ độc lập với nhau nên tổng số cách là $21^3=9261$.

b) Mỗi chân đế phải cắm đúng 5 lá. Gọi $x_{ij}\ge 0$ là số lá cờ màu $i$ (hàng $i=1,2,3$ tương ứng xanh, đỏ, vàng) cắm vào chân đế $j$ (cột $j=1,2,3$). Cần đếm số ma trận $3\times 3$ số nguyên không âm có tổng mỗi hàng bằng 5 và tổng mỗi cột bằng 5.

Chọn dòng 1: $(a,b,c)$ với $a+b+c=5$ có $C_7^2=21$ cách. Với mỗi dòng 1, dòng 2 là $(d,e,f)$ với $d+e+f=5$, $d\le 5-a$, $e\le 5-b$, $f\le 5-c$ (để dòng 3 không âm). Số cặp $(d,e)$ thỏa $d+e\le 5$, $d\le 5-a$, $e\le 5-b$ là $N(a,b)={\sum }_{d=0}^{5-a}(\min (5-b,5-d)+1)$. Tính tổng theo mọi $(a,b,c)$ với $a+b+c=5$ (dùng công thức đóng cho số ma trận $3\times 3$ có tổng các dòng và các cột đều bằng $n$: $\frac{(n+1)(n+2)(n^2+3n+4)}{8}$, kiểm tra với $n=0$ được 1, $n=1$ được 6 đúng bằng số ma trận hoán vị) thì với $n=5$: $\frac{6\cdot 7\cdot (25+15+4)}{8}=\frac{42\cdot 44}{8}=231$.

Vậy a) 9261 cách; b) 231 cách.

(AI giải đề cho tôi)
Hình tứ diện ABCD có 4 đỉnh, mỗi cặp đỉnh xác định một cạnh. Số cạnh là số tổ hợp chập 2 của 4: $C_4^2=\frac{4\cdot 3}{2}=6$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số người là 18 (3 kỹ sư, 3 kỹ thuật viên, 12 công nhân), chia vào 3 ca phân biệt theo thời gian, mỗi ca 6 người.
a) Chọn 6 người cho ca 1: $C_{18}^6$, chọn 6 người cho ca 2 từ 12 người còn lại: $C_{12}^6$, ca 3 tự xác định. Vậy số cách là $C_{18}^6.C_{12}^6$ → đúng.
b) Ca đầu gồm toàn công nhân: $C_{12}^6$ cách; 12 người còn lại chia vào ca 2, ca 3: $C_{12}^6$ cách. Tổng $C_{12}^6.C_{12}^6$ → đúng.
c) Mỗi ca đúng 1 kỹ sư và 1 kỹ thuật viên: phân 3 kỹ sư vào 3 ca: $3!$ cách; phân 3 kỹ thuật viên: $3!$ cách; 12 công nhân chia mỗi ca 4 người vào 3 ca phân biệt: $C_{12}^4.C_8^4$ cách. Vậy kết quả là $3!.3!.C_{12}^4.C_8^4$, không phải $C_6^1.C_6^1.C_{12}^4$ → sai.
d) Xác suất = $\frac{3!.3!.C_{12}^4.C_8^4}{C_{18}^6.C_{12}^6}=\frac{36\cdot 495\cdot 70}{18564\cdot 924}=\frac{1247400}{17153136}=\frac{225}{3094}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 6 người cho ca 1 rồi 6 người cho ca 2, ca 3 tự xác định: $C_{18}^6.C_{12}^6$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Ca 1 chọn 6 công nhân từ 12: $C_{12}^6$; 12 người còn lại chọn 6 cho ca 2: $C_{12}^6$. Tổng $C_{12}^6.C_{12}^6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng phải là $3!.3!.C_{12}^4.C_8^4$ vì 3 ca phân biệt; biểu thức $C_6^1.C_6^1.C_{12}^4$ không đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{3!.3!.C_{12}^4.C_8^4}{C_{18}^6.C_{12}^6}=\frac{1247400}{17153136}=\frac{225}{3094}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông nội tiếp đường tròn ngoại tiếp đa giác đều phải có cạnh huyền là đường kính. Đa giác 50 đỉnh nằm trên đường tròn có 25 đường kính nối các cặp đỉnh đối diện. Mỗi đường kính ghép với 1 trong 48 đỉnh còn lại cho một tam giác vuông. Vậy số tam giác vuông là $25\times 48=1200$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi nhóm A = các hộp 1,2,3 (tổng chẵn), nhóm B = các hộp 8,9,10 (tổng lẻ), nhóm giữa = các hộp 4,5,6,7. Vì tổng số bi là 10 (chẵn) nên tổng bi nhóm giữa = 10 − chẵn − lẻ = lẻ.

Dùng hàm sinh. Với nhóm 3 hộp có tổng chẵn: $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(1-x{)}^3}+\frac{1}{(1+x{)}^3}\right)$; tổng lẻ: $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(1-x{)}^3}-\frac{1}{(1+x{)}^3}\right)$. Tích hai nhóm này: $\frac{1}{4}\left(\frac{1}{(1-x{)}^6}-\frac{1}{(1+x{)}^6}\right)$. Nhóm 4 hộp giữa tổng lẻ: $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(1-x{)}^4}-\frac{1}{(1+x{)}^4}\right)$.

Vậy $T$ là hệ số của $x^{10}$ trong:
$$\frac{1}{8}\left[\frac{1}{(1-x{)}^{10}}-\frac{1}{(1-x{)}^6(1+x{)}^4}-\frac{1}{(1-x{)}^4(1+x{)}^6}+\frac{1}{(1+x{)}^{10}}\right].$$

Tính từng hệ số của $x^{10}$:
- $\frac{1}{(1-x{)}^{10}}$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{19}{9}\right)=92378$; tương tự $\frac{1}{(1+x{)}^{10}}$ cũng cho $+92378$ (dấu $(-1{)}^{10}=+1$).
- $\frac{1}{(1-x{)}^4(1+x{)}^6}={\sum }_i\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+3}{3}\right)x^i{\sum }_j(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{j+5}{5})x^j$, với $i+j=10$:
$3003-8008+12870-15840+16170-14112+10584-6720+3465-1320+286=378$.
- $\frac{1}{(1-x{)}^6(1+x{)}^4}$: do đối xứng $i\leftrightarrow j$ (vì $(-1{)}^{10-i}=(-1{)}^i$) cũng bằng $378$.

Suy ra $T=\frac{1}{8}(92378-378-378+92378)=\frac{184000}{8}=23000$.

Kiểm tra chéo bằng trường hợp nhỏ (2 bi, 4 hộp, 1 hộp chẵn – 1 hộp lẻ – 2 hộp giữa lẻ) cho kết quả khớp đếm trực tiếp (2 cách), xác nhận công thức.

Vậy $\frac{T}{100}=\frac{23000}{100}=230$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tứ diện $ABCD$, mỗi cạnh có 4 điểm đánh dấu (không kể đỉnh), tổng $6\times 4=24$ điểm. Một mặt phẳng song song với đúng một cạnh, chẳng hạn cạnh $AB$, không được song song với cạnh nào khác và phải chứa ít nhất 3 điểm đánh dấu. Xét các mặt phẳng song song với $AB$:

1) Mặt phẳng cắt cả 4 cạnh $AC,AD,BC,BD$: giao tuyến với mặt $(ABC)$ là đường thẳng qua 2 điểm trên $AC,BC$ cùng tỉ số chia $t$ (song song $AB$), giao tuyến với $(ABD)$ qua 2 điểm trên $AD,BD$ cùng tỉ số $s$. Nếu $t=s$ thì mặt phẳng chứa hướng của $CD$ nên song song với cả $CD$ (loại). Với $t\ne s$, $t,s\in \{1,2,3,4\}$: có $4\times 3=12$ mặt phẳng, mỗi mặt chứa đúng 4 điểm đánh dấu nên cho $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$ tam giác: $12\times 4=48$ tam giác.

2) Mặt phẳng cắt 3 cạnh $AC,BC,CD$: chứa đường thẳng qua 2 điểm trên $AC,BC$ cùng tỉ số $t$ (song song $AB$) và 1 điểm trên $CD$: $4\times 4=16$ mặt phẳng, mỗi mặt chứa đúng 3 điểm (giao tuyến với $AD,BD$ rơi ngoài đoạn nên không trùng điểm đánh dấu), cho 16 tam giác. Tương tự với mặt phẳng cắt $AD,BD,CD$: 16 tam giác.

Mặt phẳng chứa điểm trên $AB$ buộc chứa cả đường thẳng $AB$ (là mặt của tứ diện, không thỏa); mặt phẳng chứa 2 điểm trên một cạnh hoặc chứa $CD$ không song song với $AB$. Kiểm tra thêm: các mặt phẳng trên không song song với cạnh nào khác ngoài $AB$.

Vậy mỗi cạnh cho $48+16+16=80$ tam giác. Có 6 cạnh và mỗi tam giác được tính đúng một lần (mặt phẳng song song với đúng một cạnh), nên tổng số tam giác là $6\times 80=480$.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện $ABCD$ có $4$ đỉnh. Mỗi cặp đỉnh phân biệt cho $2$ vectơ (đổi vai trò điểm đầu/điểm cuối), số cặp đỉnh là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$. Vậy số vectơ khác $\vec{0}$ là $6\times 2=12$ vectơ: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC}$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Câu 6, Mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tập hợp $A=\{0;1;2\}$ có 3 phần tử. Số tập hợp con có hai phần tử của $A$ là số cách chọn 2 phần tử từ 3 phần tử: $C_3^2=\frac{3!}{2!1!}=3$. Cụ thể các tập con đó là $\{0;1\},\{0;2\},\{1;2\}$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2356, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tập $A=\{0;1;2\}$ có 3 phần tử. Số tập hợp con có hai phần tử là $C_3^2=3$, gồm $\{0;1\},\{0;2\},\{1;2\}$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1245, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là tập học sinh biết chơi cầu lông, $B$ là tập học sinh biết chơi đá cầu. Theo đề: $|A|=25$, $|B|=20$, $|A\cap B|=11$. Số học sinh biết chơi ít nhất một trong hai môn là $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=25+20-11=34$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (34).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác phải có 2 đỉnh trên một đường và 1 đỉnh trên đường kia. Số tam giác: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)n+10\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=45n+5n(n-1)=5n^2+40n=1725$, tức $n^2+8n-345=0$. Giải: $n=\frac{-8+\sqrt{64+1380}}{2}=\frac{-8+38}{2}=15$ (nhận $n\ge 2$). Vậy $n=15$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Bài toán lát mảng tường $3\times n$ bằng các miếng dán $1\times 3$ (dọc hoặc ngang). Gọi $f(n)$ là số cách lát. Xét phần cuối mảng tường: nếu đặt 1 miếng dọc chiếm cột thứ $n$ thì còn $f(n-1)$ cách; nếu dùng miếng ngang thì phải đặt 3 miếng ngang xếp kín 3 cột cuối (cách duy nhất) còn $f(n-3)$ cách. Vậy $f(n)=f(n-1)+f(n-3)$, với $f(0)=1,f(1)=1,f(2)=1$. Tính: $f(3)=2,f(4)=3,f(5)=4,f(6)=6,f(7)=9,f(8)=13,f(9)=19,f(10)=28,f(11)=41,f(12)=60,f(13)=88,f(14)=129$. a) $3\times 3$: dùng 3 miếng, chỉ 2 cách (cả dọc hoặc cả ngang) → đúng. b) $3\times 2$: $f(2)=1$, chỉ cách dọc cả hai miếng → đúng. c) $3\times 14$: $f(14)=129$ → đúng. d) $3\times 6$: $f(6)=6\ne 4$ → sai.
a) Mảng $3\times 3$ cần đúng 3 miếng dán. Nếu dọc cả 3: 1 cách; nếu ngang cả 3 (xếp 3 miếng ngang ở 3 hàng): 1 cách. Không có cách trộn vì một miếng ngang chiếm trọn chiều rộng 3m ở một hàng. Vậy $f(3)=2$ cách → đúng.
b) Mảng $3\times 2$: miếng ngang cần chiều dài 3m > 2m nên không dùng được; chỉ có thể đặt 2 miếng dọc → đúng 1 cách, $f(2)=1$ → đúng.
c) Với $f(n)=f(n-1)+f(n-3)$, $f(0)=f(1)=f(2)=1$: $f(3)=2,f(4)=3,f(5)=4,f(6)=6,f(7)=9,f(8)=13,f(9)=19,f(10)=28,f(11)=41,f(12)=60,f(13)=88,f(14)=88+41=129$ → đúng.
d) $f(6)=f(5)+f(3)=4+2=6$ cách, không phải 4 → sai.

(AI giải đề cho tôi)
Số học sinh thích ít nhất một trong hai môn là tổng của ba nhóm rời nhau: chỉ thích đá bóng (12), chỉ thích cầu lông (18), thích cả hai (8). Theo công thức $|A\cup B|=|A\setminus B|+|B\setminus A|+|A\cap B|=12+18+8=38$. Vậy lớp 10A có 38 học sinh thích chơi ít nhất một trong hai môn thể thao.