Để trang trí bàn học cho bạn A vào đầu năm học mới, mẹ của A đến cửa hàng mua một số văn phòng phẩm như sau:
• 3 chân đế cắm cờ kích thước giống nhau nhưng đủ cả ba màu xanh, đỏ, vàng. Mỗi chân đế có thể cắm được tối đa 15 lá cờ.
• 15 lá cờ để cắm vào các chân đế trên, trong đó gồm 5 lá cờ màu xanh, 5 lá cờ màu đỏ, 5 lá cờ màu vàng.
Giả sử các lá cờ cùng màu là giống nhau và bạn A sử dụng hết 15 lá cờ để cắm.
a. Có bao nhiêu cách để bạn A chọn chân đế và cắm cờ tùy ý?
b. Tìm số cách bạn A cắm 15 lá cờ vào 3 chân đế sao cho số lượng lá cờ được cắm ở mỗi chân đế bằng nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 7: Ba chân đế có đủ ba màu xanh, đỏ, vàng nên ba chân đế phân biệt nhau. Vì tổng cộng chỉ có 15 lá cờ nên ràng buộc 'mỗi chân đế cắm tối đa 15 lá' luôn tự động thỏa mãn.

a) Xét từng màu cờ: 5 lá cờ cùng màu giống nhau, cắm vào 3 chân đế phân biệt <=> tìm số nghiệm không âm của $x_1+x_2+x_3=5$, số cách là $C_{5+3-1}^{3-1}=C_7^2=21$. Ba màu cờ độc lập với nhau nên tổng số cách là $21^3=9261$.

b) Mỗi chân đế phải cắm đúng 5 lá. Gọi $x_{ij}\ge 0$ là số lá cờ màu $i$ (hàng $i=1,2,3$ tương ứng xanh, đỏ, vàng) cắm vào chân đế $j$ (cột $j=1,2,3$). Cần đếm số ma trận $3\times 3$ số nguyên không âm có tổng mỗi hàng bằng 5 và tổng mỗi cột bằng 5.

Chọn dòng 1: $(a,b,c)$ với $a+b+c=5$ có $C_7^2=21$ cách. Với mỗi dòng 1, dòng 2 là $(d,e,f)$ với $d+e+f=5$, $d\le 5-a$, $e\le 5-b$, $f\le 5-c$ (để dòng 3 không âm). Số cặp $(d,e)$ thỏa $d+e\le 5$, $d\le 5-a$, $e\le 5-b$ là $N(a,b)={\sum }_{d=0}^{5-a}(\min (5-b,5-d)+1)$. Tính tổng theo mọi $(a,b,c)$ với $a+b+c=5$ (dùng công thức đóng cho số ma trận $3\times 3$ có tổng các dòng và các cột đều bằng $n$: $\frac{(n+1)(n+2)(n^2+3n+4)}{8}$, kiểm tra với $n=0$ được 1, $n=1$ được 6 đúng bằng số ma trận hoán vị) thì với $n=5$: $\frac{6\cdot 7\cdot (25+15+4)}{8}=\frac{42\cdot 44}{8}=231$.

Vậy a) 9261 cách; b) 231 cách.