Có 7 tấm bìa ghi 7 chữ “HỌC”, “TẬP”, “VÌ”, “NGÀY”, “MAI”, “LẬP”, “NGHIỆP”. Một người xếp ngẫu nhiên 7 tấm bìa cạnh nhau. Tính xác suất để khi xếp các tấm bìa được dòng chữ “HỌC TẬP VÌ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP”.

1. Ba học sinh An, Lan và Hoa, mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn $[3;12]$. Tính xác suất để ba số được viết đôi một khác nhau và tích của ba số đó là một số chính phương.
2. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn $$4P(x)P(2x)+{\left(P(2x)\right)}^2=2P(x)\cdot P(4x),\forall x\in \mathbb{R}.$$
3. Lớp 11A có 40 học sinh tham gia ngoại khóa tại một khu vui chơi có 4 trò chơi khác nhau. Biết mọi học sinh đều tham gia và mỗi học sinh chỉ được đăng ký tham gia một trò chơi, mỗi trò chơi có ít nhất một người chơi và không trò chơi nào có quá 15 học sinh đăng ký. Hỏi lớp 11A có bao nhiêu cách đăng ký trò chơi?

Một con Robot di chuyển trên một đường thẳng, nó được lập trình di chuyển tự động như sau: Ở vị trí xuất phát, khi có hiệu lệnh, Robot sẽ bước 8 bước, mỗi bước nó sẽ ngẫu nhiên tiến về phía trước 1 m hoặc lùi về phía sau 1 m với xác suất như nhau. Sau đó Robot dừng lại.
Gọi A là biến cố: "Khi Robot dừng lại nó cách vị trí xuất phát xa hơn 4 m". Xác suất của biến cố A bằng $\frac{a}{b}$ $(a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast })$, biết $\frac{a}{b}$ là một phân số tối giản. Tính $a+b$.

Một lớp học có 20 học sinh nam và 25 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng. Xác suất để 4 học sinh được gọi có cả học sinh nam và học sinh nữ là

Một chùm chìa khóa gồm 8 chìa khóa bề ngoài giống hết nhau, nhưng chỉ có 2 chìa khóa mở được cửa phòng thí nghiệm. Một người lấy ngẫu nhiên lần lượt từng chìa khóa trong chùm để thử mở cửa, cho đến khi mở được cửa phòng thí nghiệm (chìa khóa nào thử không mở được bỏ ra ngoài không thử lại). Tính xác suất để người này thử nhiều hơn 3 lần mới mở được cửa (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Có 50 tấm thẻ kích thước như nhau và đánh số thứ tự lần lượt từ 1 đến 50 (mỗi tấm thẻ chỉ ghi một số nguyên dương, hai thẻ khác nhau ghi hai số khác nhau). Một người lần lượt rút hai thẻ (rút không hoàn lại). Tính xác suất lần thứ hai rút được thẻ ghi số nguyên tố.

Cho một hộp có $4$ quả bóng màu đỏ, $5$ quả bóng màu xanh và $6$ quả bóng màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc $3$ quả bóng từ hộp. Tính xác suất để $3$ quả bóng lấy ra có đúng một quả bóng màu đỏ.