Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác $ABC$ có $A(1;2),B(3;0)$ và $C(-2;-1)$. a) Lập phương trình đường cao kẻ từ $A$. b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ $B$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14: Cho $A(1;2),B(3;0),C(-2;-1)$.

a) Đường cao kẻ từ $A$ vuông góc với $BC$. Ta có $\overrightarrow{BC}=(-5;-1)$, nên đường cao nhận $\vec{n}=(1;-5)$ làm vectơ pháp tuyến (vì $\vec{n}\cdot \overrightarrow{BC}=-5+5=0$). Đường cao đi qua $A(1;2)$:
$$1(x-1)-5(y-2)=0\iff x-5y+9=0.$$

b) Đường trung tuyến kẻ từ $B$ đi qua $B$ và trung điểm $M$ của $AC$:
$$M=\left(\frac{1+(-2)}{2};\frac{2+(-1)}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right).$$
Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BM}=\left(-\frac{7}{2};\frac{1}{2}\right)$, chọn $\vec{u}=(7;-1)$, suy ra vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;7)$. Phương trình đường trung tuyến:
$$1(x-3)+7(y-0)=0\iff x+7y-3=0.$$
Kiểm tra: $M\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ thỏa $-\frac{1}{2}+\frac{7}{2}-3=0$ đúng.