(Phương trình đoạn chắn của đường thẳng ) Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm $A(a;0),B(0;b)$ với $ab\ne 0$ $(H.7.3)$ có phương trình là $$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1.$$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ab\ne 0$ nên $a\ne 0$ và $b\ne 0$, do đó hai điểm $A(a;0)$ và $B(0;b)$ phân biệt và không trùng gốc tọa độ, nên chúng xác định một đường thẳng duy nhất $\Delta$ (đúng như Hình 7.3: $\Delta$ cắt trục hoành tại $A$ và trục tung tại $B$).

Cách 1 (dùng hệ số góc): Vì $a\ne 0$, $b\ne 0$ nên $\Delta$ không song song với trục tung. Hệ số góc của $\Delta$ qua $A(a;0)$ và $B(0;b)$ là
$$k=\frac{b-0}{0-a}=-\frac{b}{a}.$$
Phương trình $\Delta$ qua $B(0;b)$ (tung độ gốc $b$):
$$y=-\frac{b}{a}x+b.$$
Chia hai vế cho $b\ne 0$:
$$\frac{y}{b}=-\frac{x}{a}+1⟺\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1.$$

Cách 2 (dùng phương trình tổng quát): Vì $\Delta$ cắt cả hai trục tại hai điểm phân biệt, phương trình $\Delta$ có dạng $\alpha x+\beta y+\gamma =0$ với $\alpha ,\beta ,\gamma \ne 0$.
- Thay $A(a;0)$: $\alpha a+\gamma =0\Rightarrow \gamma =-\alpha a$.
- Thay $B(0;b)$: $\beta b+\gamma =0\Rightarrow \gamma =-\beta b$.
Suy ra $\alpha a=\beta b=-\gamma \ne 0$, tức $\frac{\alpha }{-\gamma }=\frac{1}{a}$ và $\frac{\beta }{-\gamma }=\frac{1}{b}$. Chia phương trình cho $-\gamma$:
$$\frac{\alpha }{-\gamma }x+\frac{\beta }{-\gamma }y=1⟺\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1.$$

Kiểm tra: thay $x=a,y=0$: $\frac{a}{a}+0=1$ đúng; thay $x=0,y=b$: $0+\frac{b}{b}=1$ đúng. Vậy đường thẳng đi qua $A(a;0)$ và $B(0;b)$ với $ab\ne 0$ có phương trình $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ (đpcm).