Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận đứng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $2x^2+6x-m-3=0$ cần có hai nghiệm phân biệt để đồ thị có hai tiệm cận đứng. $\Delta =36+8(m+3)=8m+60>0\iff m>-7,5$. Với $m\in [-10;10]$ nguyên: $m\in \{-7,-6,\dots ,10\}$ (18 giá trị). Loại trường hợp nghiệm trùng với $x=1$ (làm tử số bằng 0, mất tiệm cận đứng): $2+6-m-3=0\iff m=5$. Vậy còn $18-1=17$ giá trị, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận ngang $y=1$ và tiệm cận đứng là đường thẳng đứng đi qua $x=2$ (đường đứt nét tại $x=2$, nhánh phải tiến lên $+\infty$ khi $x\to 2^{+}$). Vậy tiệm cận đứng có phương trình $x=2$, khớp với đáp án D trong bảng mã đề 0212.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: đường tiệm cận đứng là đường thẳng màu xanh $x=-1$ (không phải $x=2$), nên a) sai. Đường tiệm cận ngang là $y=2$ (đồ thị tiến tới 2 khi $x\to \pm \infty$), nên b) đúng. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ 1, tức $(0;1)$, nên c) đúng. Hàm số dạng $y=\frac{ax+b}{x+1}+2$ có tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $(-1;2)$, không phải $(2;2)$, nên d) sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn 'bc'.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng $x=-1$, không phải $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị tiến tới đường thẳng $y=2$ khi $x\to \pm \infty$, nên tiệm cận ngang là $y=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;1)$ theo hình vẽ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai tiệm cận $x=-1$ và $y=2$, tức $(-1;2)$, không phải $(2;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}=1-\frac{3}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, có $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. a) Trên đoạn $[1;2]$ hàm số đồng biến nên GTNN tại $x=1$: $y(1)=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$ → Đúng. b) ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên tiệm cận ngang $y=1$; ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty$ nên tiệm cận đứng $x=-1$ → Đúng. c) Vì $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-1)$ nên hàm đồng biến trên khoảng này → Đúng. d) Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ không có cực trị, do đó không tồn tại giá trị cực đại $y=1$ → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức DDDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên [1;2] nên GTNN tại x=1: y(1)=-1/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
lim y=1 khi x→±∞ (TCN y=1); lim y→+∞ khi x→-1⁺ (TCĐ x=-1).
c) (AI giải đề cho tôi)
y'=3/(x+1)²>0 trên (-∞;-1) nên hàm đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất không có cực trị nên không có giá trị cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, đường tiệm cận đứng là đường thẳng đứng mà đồ thị tiến vô cực khi x tiến tới đó. Trên hình vẽ, đường nét đứt thẳng đứng đi qua $x=-\frac{1}{2}$ (đồ thị tiến tới $+\infty$ bên trái và $-\infty$ bên phải của đường này), nên tiệm cận đứng là $x=-\frac{1}{2}$. Đường $y=1$ là tiệm cận ngang, không phải tiệm cận đứng. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là một đường hyperbol có hai nhánh tiến ra vô cực khi $x$ tiến về $0$ (đồ thị bám sát trục tung), nên tiệm cận đứng là $x=0$. Đường tiệm cận ngang là $y=-1$ (không phải tiệm cận đứng). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 3^{-}$ thì $f(x)\to +\infty$ và khi $x\to 3^{+}$ thì $f(x)\to +\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=3$. Khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 1$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=1$. Vậy khẳng định đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+1}{x+2}$ xác định khi $x+2\ne 0$, tức $x\ne -2$. Ta có ${\lim }_{x\to -2^{+}}\frac{3x+1}{x+2}=+\infty$ (hoặc $-\infty$ tùy phía), nên đường thẳng $x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2102, Câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vi phân: $y=\frac{x^2+2x-1}{x-1}=x+3+\frac{2}{x-1}$ (với $x\ne 1$).
a) Tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1$. Đúng.
b) $y^{\prime }=1-\frac{2}{(x-1{)}^2}=0\iff (x-1{)}^2=2\iff x=1\pm \sqrt{2}$, hai nghiệm phân biệt đều thuộc tập xác định, đổi dấu qua mỗi nghiệm nên hàm số có 2 điểm cực trị. Đúng.
c) Với $x\in (0;2)$, $x\ne 1$: $(x-1{)}^2<1\Rightarrow \frac{2}{(x-1{)}^2}>2\Rightarrow y^{\prime }<0$. Hai nghiệm $x=1\pm \sqrt{2}$ nằm ngoài $(0;2)$, nên hàm nghịch biến trên $(0;1)$ và $(1;2)$, do đó nghịch biến trên khoảng $(0;2)$. Đúng.
d) Khoảng cách từ $M(x_0;y_0)$ đến $x=1$ là $d_1=|x_0-1|$; đến tiệm cận xiên $y=x+3$ là $d_2=\frac{|x_0-y_0|}{\sqrt{2}}=\frac{\left|3+\frac{2}{x_0-1}\right|}{\sqrt{2}}$. Tích $d_1{d}_2=\frac{|3(x_0-1)+2|}{\sqrt{2}}=\frac{|3x_0-1|}{\sqrt{2}}$ phụ thuộc $M$, không luôn bằng $\sqrt{2}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{\pm }}\frac{x^2+2x-1}{x-1}=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{2}{(x-1{)}^2}=0\iff x=1\pm \sqrt{2}$: hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;2)$, $(x-1{)}^2<1$ nên $y^{\prime }<0$ (với $x\ne 1$), hàm nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tích khoảng cách $=\frac{|3x_0-1|}{\sqrt{2}}$ thay đổi theo $M$, không bằng hằng $\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 2^{-}$ thì $y\to +\infty$ và khi $x\to 2^{+}$ thì $y\to -\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$. Khi $x\to -\infty$ thì $y\to 4$ và khi $x\to +\infty$ thì $y\to 4$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=4$. Vậy đồ thị có 2 tiệm cận, khớp với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là đường thẳng $x=a$ khi ${\lim }_{x\to a}f(x)=\pm \infty$. Vì ${\lim }_{x\to -2}f(x)=-\infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-2$. Còn ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1$ cho tiệm cận ngang $y=1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Tại $x=-1$: mẫu số bằng 0, tử số $2(-1)+1=-1\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to -1^{-}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=-\infty$. Do đó đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng. Ngoài ra $y=2$ là tiệm cận ngang, không phải đứng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{2x+1}{x+1}=-\infty$ và ${\lim }_{x\to -1^{-}}\frac{2x+1}{x+1}=+\infty$, nên đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng. Ngoài ra ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên $y=2$ là tiệm cận ngang. Đáp án khớp với mã đề 1001, câu 5: C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tại $x=-1$, $f^{\prime }(x)$ không xác định và $f(x)\to -\infty$ khi $x\to -1$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$. Tại $x=1$, $f(1)=4$ hữu hạn nên không có tiệm cận đứng tại đó. Khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 0$ nên có tiệm cận ngang $y=0$; khi $x\to -\infty$, $f(x)\to +\infty$ nên không có tiệm cận ngang bên trái. Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+1=2$, khớp đáp án A (đối chiếu bảng đáp án mã đề 0105, Câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 1$ và khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 1$ nên đồ thị có tiệm cận ngang là $y=1$ (không phải $y=2$). Tại $x=2$, $f(x)\to +\infty$ khi $x\to 2^{-}$ và $f(x)\to -\infty$ khi $x\to 2^{+}$, nên đồ thị có tiệm cận đứng là $x=2$. Vậy mệnh đề đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -1^{-}$ thì $y\to -\infty$ và khi $x\to -1^{+}$ thì $y\to +\infty$, nên $x=-1$ là tiệm cận đứng. Xét giới hạn tại vô cực: trên khoảng $(-1;2)$ hàm số giảm từ $+\infty$ xuống $-1$ (giá trị tại $x=2$), rồi tăng lên $+\infty$ khi $x\to +\infty$; trên $(-\infty ;-1)$ hàm giảm từ $+\infty$ xuống $-\infty$. Vậy ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\pm \infty$, không tồn tại tiệm cận ngang. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-3}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Tại $x=-1$, mẫu số bằng 0 nên ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}y=\pm \infty$, do đó đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$. Vì bậc tử bằng bậc mẫu, ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-3}{x+1}=\frac{2}{1}=2$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Vậy hai tiệm cận là $x=-1$ và $y=2$, tương ứng đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng $x=2$ nên $2b+c=0$, tức $c=-2b$. Giới hạn khi $x\to \pm \infty$ bằng $1$ nên $\frac{a}{b}=1$, tức $a=b$. $f^{\prime }(x)=\frac{ac-2b}{(bx+c{)}^2}>0$ trên các khoảng xác định nên $ac-2b>0$. Thay $a=b$, $c=-2b$: $b(-2b)-2b=-2b^2-2b>0⟺b(b+1)<0⟺-1<b<0$. Vậy $b<0$, $a=b<0$, $c=-2b>0$. Trong $a,b,c$ có đúng $2$ số âm ($a$ và $b$). Đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x-1}{x+2}$ xác định khi $x\ne -2$. Tại $x=-2$, mẫu số bằng 0 còn tử số $(-2{)}^2+(-2)-1=1\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to -2^{\pm }}y=\pm \infty$. Vậy đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 1^{-}$ thì $y\to -\infty$ và khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to +\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$. Khi $x\to +\infty$ thì $y\to 2$ (và nhánh bên trái tiến tới 2 khi $x\to -\infty$), nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Vậy tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là $x=1;y=2$, khớp với đáp án C trong bảng đáp án (mã đề 2025, câu 2 = C).