Cho hàm số $y=\frac{x^2+2x-1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$:

(AI giải đề cho tôi)
Vi phân: $y=\frac{x^2+2x-1}{x-1}=x+3+\frac{2}{x-1}$ (với $x\ne 1$).
a) Tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1$. Đúng.
b) $y^{\prime }=1-\frac{2}{(x-1{)}^2}=0\iff (x-1{)}^2=2\iff x=1\pm \sqrt{2}$, hai nghiệm phân biệt đều thuộc tập xác định, đổi dấu qua mỗi nghiệm nên hàm số có 2 điểm cực trị. Đúng.
c) Với $x\in (0;2)$, $x\ne 1$: $(x-1{)}^2<1\Rightarrow \frac{2}{(x-1{)}^2}>2\Rightarrow y^{\prime }<0$. Hai nghiệm $x=1\pm \sqrt{2}$ nằm ngoài $(0;2)$, nên hàm nghịch biến trên $(0;1)$ và $(1;2)$, do đó nghịch biến trên khoảng $(0;2)$. Đúng.
d) Khoảng cách từ $M(x_0;y_0)$ đến $x=1$ là $d_1=|x_0-1|$; đến tiệm cận xiên $y=x+3$ là $d_2=\frac{|x_0-y_0|}{\sqrt{2}}=\frac{\left|3+\frac{2}{x_0-1}\right|}{\sqrt{2}}$. Tích $d_1{d}_2=\frac{|3(x_0-1)+2|}{\sqrt{2}}=\frac{|3x_0-1|}{\sqrt{2}}$ phụ thuộc $M$, không luôn bằng $\sqrt{2}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{\pm }}\frac{x^2+2x-1}{x-1}=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{2}{(x-1{)}^2}=0\iff x=1\pm \sqrt{2}$: hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;2)$, $(x-1{)}^2<1$ nên $y^{\prime }<0$ (với $x\ne 1$), hàm nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tích khoảng cách $=\frac{|3x_0-1|}{\sqrt{2}}$ thay đổi theo $M$, không bằng hằng $\sqrt{2}$.