Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin \left(3x-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos 3x$, nên phương trình trở thành $-\cos 3x=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \cos 3x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Suy ra $3x=\pm \frac{3\pi }{4}+2k\pi \iff x=\pm \frac{\pi }{4}+\frac{2k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.

Họ 1: $x=\frac{\pi }{4}+\frac{2k\pi }{3}$. Với $k=-1$: $x=-\frac{5\pi }{12}\in (-\pi ;\pi )$; $k=0$: $x=\frac{\pi }{4}$; $k=1$: $x=\frac{11\pi }{12}$; $k=2$: $x=\frac{19\pi }{12}\notin (-\pi ;\pi )$; $k=-2$: $x=-\frac{13\pi }{12}\notin (-\pi ;\pi )$. → 3 nghiệm.

Họ 2: $x=-\frac{\pi }{4}+\frac{2k\pi }{3}$. Với $k=0$: $x=-\frac{\pi }{4}$; $k=1$: $x=\frac{5\pi }{12}$; $k=-1$: $x=-\frac{11\pi }{12}$; $k=2$: $x=\frac{13\pi }{12}\notin (-\pi ;\pi )$; $k=-2$: $x=-\frac{19\pi }{12}\notin (-\pi ;\pi )$. → 3 nghiệm.

Vậy tổng số nghiệm trên khoảng $(-\pi ;\pi )$ là $3+3=6$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$, nên phương trình trở thành $\sin \left(3x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$.

Trường hợp 1: $3x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}-x+2k\pi \Rightarrow 4x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 2: $3x-\frac{\pi }{3}=\pi -\left(\frac{\pi }{2}-x\right)+2k\pi =\frac{\pi }{2}+x+2k\pi \Rightarrow 2x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{5\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Vậy $S=\left\{\frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{2},\frac{5\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, trùng với đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=0$ khi và chỉ khi $\sin x=0$ (với $\cos x\ne 0$, điều này luôn thỏa vì khi $\sin x=0$ thì $\cos x=\pm 1\ne 0$). Vậy $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$, tức $S=\{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$. Điều này khớp với đáp án D trong bảng key (Câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vật qua vị trí cân bằng khi $x=0$, tức $\cos \left(5t-\frac{\pi }{6}\right)=0$, nên $5t-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $t=\frac{2\pi /3+k\pi }{5}$. Với $0\le t\le 6$: $0\le \frac{2\pi }{3}+k\pi \le 30$, tức $-\frac{2}{3}\le k\le \frac{30}{\pi }-\frac{2}{3}\approx 8,88$. Vậy $k=0,1,\dots ,8$, tổng cộng 9 lần. Kết quả khớp với đáp án nguồn: 9.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x-\frac{\pi }{6}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Ta có $\tan \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan \frac{\pi }{6}$, nên $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi$, suy ra $2x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, tức $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$. Với các giá trị này, $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi \ne \frac{\pi }{2}+m\pi$ nên thỏa điều kiện. Kết quả trùng với đáp án nguồn: $S=\left\{\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=0\iff 2x-\frac{\pi }{3}=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $2x=\frac{\pi }{3}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Kết quả trùng với đáp án B trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải $3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)+12=15\iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=1$. Suy ra $\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}=2k\pi \iff t=12k-2$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $0\le t\le 24$: $k=1$ cho $t=10$; $k=2$ cho $t=22$. Tổng các thời điểm: $10+22=32$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (32).

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin 2x-\sqrt{3}\cos x=0$.

Ta có $\sin 2x=2\sin x\cos x$, nên phương trình trở thành:
$$2\sin x\cos x-\sqrt{3}\cos x=0\iff \cos x(2\sin x-\sqrt{3})=0.$$

Trường hợp 1: $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 2: $2\sin x-\sqrt{3}=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}+k2\pi =\frac{2\pi }{3}+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$ (do $\sin \frac{\pi }{3}=\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$).

Vậy $S=\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{3}+k2\pi ;\frac{2\pi }{3}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, trùng khớp với đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình sin2x = sinx: 2sinx cosx − sinx = 0 ⟺ sinx(2cosx − 1) = 0. TH1: sinx = 0 ⟹ x = kπ. TH2: cosx = 1/2 ⟹ x = ±π/3 + k2π. Vậy S = {kπ, ±π/3 + k2π | k ∈ ℤ}. Kiểm tra đáp án C: họ k2π cho các nghiệm 0, 2π, ...; họ π/3 + k·2π/3 cho π/3, π, 5π/3, 7π/3, ... Hợp hai họ cho đúng tập {kπ} ∪ {±π/3 + k2π}. So sánh với đáp án tham khảo trong tài liệu (Câu 4: C) — khớp. Các phương án A, B, D đều thiếu nghiệm hoặc sai.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $2\cos 2x+1=0\iff \cos 2x=-\frac{1}{2}\iff 2x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. a) Đúng vì chia hai vế cho 2. b) Sai vì chu kỳ của nghiệm là $k\pi$ chứ không phải $k2\pi$ (ví dụ $x=\frac{4\pi }{3}$ là nghiệm nhưng không thuộc dạng đã cho). c) Trong $(0;5\pi )$: họ $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ cho 5 nghiệm ($k=0,1,2,3,4$), họ $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$ cho 5 nghiệm ($k=1,2,3,4,5$), tổng cộng 10 nghiệm → Đúng. d) Trong $(0;\pi )$ có hai nghiệm $x=\frac{\pi }{3}$ và $x=\frac{2\pi }{3}$, tổng bằng $\pi$ → Đúng. Khớp với đáp án nguồn D - S - D - D.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2\cos 2x+1=0\iff \cos 2x=-\frac{1}{2}$ (chia hai vế cho 2).
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm đúng là $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$), chu kỳ $\pi$ chứ không phải $2\pi$; ví dụ $x=\frac{4\pi }{3}$ là nghiệm nhưng không có dạng đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong $(0;5\pi )$: họ $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ cho 5 nghiệm, họ $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$ cho 5 nghiệm, tổng 10 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong $(0;\pi )$ có hai nghiệm $\frac{\pi }{3}$ và $\frac{2\pi }{3}$, tổng bằng $\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Mực nước cao nhất khi $L$ đạt giá trị lớn nhất, tức $\sin \left(\frac{\pi t}{4}+\frac{\pi }{3}\right)=1$. Khi đó $\frac{\pi t}{4}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi$, suy ra $\frac{\pi t}{4}=\frac{\pi }{6}+k\pi$, tức $t=\frac{2}{3}+4k$. Thời gian ngắn nhất (với $t\ge 0$) là $t=\frac{2}{3}$ giờ, nên $a=2,b=3$ và $a.b=6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Key = 6).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\cos \frac{\pi }{3}$ có nghiệm dạng $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (công thức nghiệm tổng quát của phương trình $\cos x=\cos \alpha$). Kiểm tra: với $x=\frac{\pi }{3}$ hoặc $x=-\frac{\pi }{3}$ cộng bội của $2\pi$ thì $\cos x=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3}$ đúng. Phương án B sai vì chu kỳ của $\cos x$ là $2\pi$ chứ không phải $\pi$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin x=\sqrt{2}$ ta được $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$, nên phương trình tương đương $\sin x=\sin \frac{\pi }{4}$ → a) Đúng. Nghiệm tổng quát: $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. b) Sai vì họ $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ không phải nghiệm (thay vào: $2\sin \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\ne \sqrt{2}$). c) Trong hai họ nghiệm, giá trị dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$ → Đúng. d) Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$ (vì $\frac{3\pi }{4}\notin$ khoảng), tức 1 nghiệm chứ không phải 2 → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn D-S-D-S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chia hai vế cho 2: $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$, nên phương trình tương đương với $\sin x=\sin \frac{\pi }{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$. Họ $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ sai vì $2\sin \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\ne \sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $k=0$, họ $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ cho nghiệm dương nhỏ nhất $\frac{\pi }{4}$, nhỏ hơn $\frac{3\pi }{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ chỉ có $x=\frac{\pi }{4}$ thỏa mãn ($\frac{3\pi }{4}$ nằm ngoài khoảng), vậy chỉ có 1 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $h(2)=14$ (cực đại), $h(14)=10$ (cực tiểu). Với $h(t)=a+b\cos \left(\frac{\pi }{12}t-\frac{\pi }{6}\right)$, ta có $a+b=14$, $a-b=10$ nên $a=12$, $b=2$. Giải $h(t)=11$: $\cos \left(\frac{\pi }{12}t-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$. Đặt $u=\frac{\pi }{12}t-\frac{\pi }{6}$, với $0\le t\le 24$ thì $-\frac{\pi }{6}\le u\le \frac{11\pi }{6}$. Các nghiệm: $u=\frac{2\pi }{3}\Rightarrow t=10$ và $u=\frac{4\pi }{3}\Rightarrow t=18$. Vậy có 2 thời điểm ($t=10$h và $t=18$h) mà mực nước cao 11 m, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=0$ có họ nghiệm $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (các điểm trên đường tròn lượng giác có tung độ bằng 0 tương ứng với các góc $k\pi$). Kiểm tra: với $x=k\pi$ thì $\sin x=0$ đúng với mọi $k\in \mathbb{Z}$. Các phương án A, B, D chỉ là tập con hoặc họ nghiệm của $\cos x=0$. Đáp án trùng với key nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Huyết áp bằng 100 mmHg khi $P(t)=100\iff 20\sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=0\iff \frac{7\pi }{3}t=k\pi \iff t=\frac{3k}{7},k\in \mathbb{Z}$. Với $t\in (0;1)$ (khoảng từ 0 đến 1 giây, không tính hai đầu mút vì đó là hai thời điểm biên): $0<\frac{3k}{7}<1\iff 0<k<\frac{7}{3}$, nên $k=1$ hoặc $k=2$, tức $t=\frac{3}{7}$ và $t=\frac{6}{7}$. Vậy huyết áp bằng 100 mmHg đúng 2 lần, khớp với đáp án nguồn (Key = 2).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(5x-\frac{\pi }{6}\right)=\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ khi và chỉ khi $5x-\frac{\pi }{6}=\pm \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

**TH1:** $5x-\frac{\pi }{6}=2x-\frac{\pi }{3}+2k\pi \iff 3x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi \iff x=-\frac{\pi }{18}+\frac{2k\pi }{3}$.
Với $x\in [0;\pi ]$: $k=1$ cho $x=\frac{11\pi }{18}$ (các $k$ khác cho giá trị ngoài đoạn).

**TH2:** $5x-\frac{\pi }{6}=-2x+\frac{\pi }{3}+2k\pi \iff 7x=\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff x=\frac{\pi }{14}+\frac{2k\pi }{7}$.
Với $k=0,1,2,3$ ta được $x=\frac{\pi }{14};\frac{5\pi }{14};\frac{9\pi }{14};\frac{13\pi }{14}$ (đều thuộc $[0;\pi ]$); $k=4$ cho $\frac{17\pi }{14}>\pi$ loại.

Vậy $S=\left\{\frac{11\pi }{18};\frac{\pi }{14};\frac{5\pi }{14};\frac{9\pi }{14};\frac{13\pi }{14}\right\}$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=1$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Trong khoảng $(0;\pi )$, chỉ có $x=\frac{\pi }{2}$ thỏa mãn (đúng như đồ thị $y=\sin x$ đạt đỉnh $1$ tại $x=\frac{\pi }{2}$). Các giá trị $x=0$, $x=\pi$ không thuộc khoảng $(0;\pi )$ và $\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1\ne 1$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác: $\sin x=a$ có nghiệm khi $|a|\le 1$; $\cos t=a$ có nghiệm khi $|a|\le 1$.
- A: $\sin x=2$ với $2>1$ nên vô nghiệm.
- B: $\cos 2x=-2$ với $|-2|=2>1$ nên vô nghiệm.
- C: $\sin 3x=\frac{2}{3}$ với $\left|\frac{2}{3}\right|\le 1$ nên có nghiệm: $3x=\arcsin \frac{2}{3}+k2\pi$ hoặc $3x=\pi -\arcsin \frac{2}{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
- D: $\cos x=\pi$ với $\pi >1$ nên vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm là $\sin 3x=\frac{2}{3}$, khớp với đáp án nguồn (Câu 4, key C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\cos 3x-\sqrt{3}=0\iff \cos 3x=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi }{6}$.
a) Đúng: phương trình tương đương $\cos 3x=\cos \frac{\pi }{6}$.
b) Sai: từ đó $3x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi \iff x=\pm \frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$, chứ không phải $x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$.
c) Đúng: họ nghiệm $x=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}$ cho nghiệm âm lớn nhất khi $k=-1$: $x=\frac{\pi }{18}-\frac{2\pi }{3}=-\frac{11\pi }{18}$; họ $x=-\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}$ cho nghiệm âm lớn nhất $x=-\frac{\pi }{18}$ (k=0). So sánh $-\frac{\pi }{18}>-\frac{11\pi }{18}$, vậy nghiệm âm lớn nhất là $-\frac{\pi }{18}$.
d) Sai: trên $[-\pi ;2\pi )$ thì $3x\in [-3\pi ;6\pi )$. Với $3x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$: $-3\pi \le \frac{\pi }{6}+2k\pi <6\pi \Rightarrow k\in \{-1,0,1,2\}$ (4 nghiệm). Với $3x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$: $k\in \{-1,0,1,2,3\}$ (5 nghiệm). Tổng cộng 9 nghiệm, không phải 10.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 3x=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi }{6}$, nên phương trình tương đương $\cos 3x=\cos \frac{\pi }{6}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm tổng quát là $3x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi \iff x=\pm \frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}$, không phải $x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Các nghiệm âm gần 0 nhất: từ họ $x=-\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}$ lấy $k=0$ được $x=-\frac{\pi }{18}$; từ họ kia là $-\frac{11\pi }{18}$. Vậy nghiệm âm lớn nhất là $-\frac{\pi }{18}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-\pi ;2\pi )$, $3x\in [-3\pi ;6\pi )$: họ $3x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ cho 4 nghiệm ($k=-1,0,1,2$), họ $3x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ cho 5 nghiệm ($k=-1,0,1,2,3$). Tổng 9 nghiệm, không phải 10.