Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đếm có điều kiện kề nhau hoặc loại trừ (Toán học Lớp 10)

Cho một lưới ô vuông $6\text{ cm}\times 6\text{ cm}$. Trên lưới có một vết dầu nằm ở vị trí giữa lưới như trong hình vẽ bên. Có bao nhiêu hình chữ nhật có diện tích lớn hơn $2{\text{ cm}}^2$ và bị "dính vết dầu"? Lưu ý:
- Hình chữ nhật (bao gồm cả hình vuông) có các cạnh nằm trên các đường kẻ của lưới ô vuông.
- "Dính vết dầu" được hiểu là dính toàn bộ hoặc dính một phần của vết dầu.
- Ô vuông $1\text{ cm}\times 1\text{ cm}$ được đánh dấu $\star$ không dính vết dầu.

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị dài trên trục tính bằng mét), một con châu chấu đang ở vị trí $O(0;0;0)$ và dự định nhảy đến $C(6;5;5)$. Con châu chấu chỉ có thể nhảy theo ba hướng $\vec{i}=(1;0;0),\vec{j}=(0;1;0),\vec{k}=(0;0;1)$ và điều đặc biệt là nó sẽ không thể nhảy hai lần liên tiếp theo hướng $\vec{k}=(0;0;1)$. Mỗi lần nhảy của con châu chấu chỉ nhảy được quãng đường bằng $1\text{ m}$. Gọi $T$ là số cách con châu chấu di chuyển từ $O$ đến $C$. Bốn chữ số đầu tiên của $T$ là bao nhiêu?

Trong đợt phòng chống dịch, một bệnh viện trung ương cần phân bổ khẩn cấp 15 thùng vật tư y tế (các thùng giống hệt nhau) cho 3 trạm y tế cơ sở là $A,B$ và $C$. Theo quy định đánh giá rủi ro, trạm $A$ phải nhận được ít nhất 4 thùng, trạm $B$ nhận ít nhất 3 thùng và trạm $C$ nhận ít nhất 1 thùng. Hỏi bệnh viện có tất cả bao nhiêu cách phân bổ 15 thùng vật tư này để thỏa mãn các yêu cầu trên?

Câu 5. Một nhóm học sinh gồm 5 học sinh nam trong đó có Hoàng và 5 học sinh nữ trong đó có Lan được xếp thành một hàng dọc. Gọi $m$ là số cách xếp thỏa mãn các học sinh nam nữ đứng xen kẽ nhau sao cho Hoàng và Lan không đứng liên tiếp nhau. Giá trị $\frac{m}{32}$ bằng bao nhiêu?

Câu 5. Bác Nghĩa đang giúp con trai sắp xếp $16$ cuốn sách ôn thi vào một chiếc kệ $5$ ngăn phân biệt. $16$ cuốn sách này thuộc $8$ môn học khác nhau: Toán, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa, Văn, Anh. Mỗi môn học gồm đúng $2$ cuốn: một cuốn sách giáo khoa và một cuốn sách bài tập.



Để việc ôn tập đạt hiệu quả cao nhất theo từng khối thi, bác Nghĩa đặt ra các quy tắc khắt khe sau:
- Do ngăn kệ nhỏ, mỗi ngăn chỉ được chứa tối đa $5$ cuốn sách và không được để ngăn nào trống.
- Hai cuốn sách của cùng một môn học phải luôn nằm chung một ngăn với nhau.
- Các môn học trong cùng một tổ hợp môn thi phải nằm ở $3$ ngăn liên tiếp để thuận tiện cho việc tra cứu. Các tổ hợp bao gồm: (Văn, Sử, Địa), (Toán, Lý, Hóa), (Toán, Hóa, Sinh) và (Toán, Lý, Anh).
- Các cuốn sách trong mỗi ngăn được xếp theo hàng ngang với gáy sách quay ra ngoài ở mỗi ngăn, thứ tự từ trái sang phải.

Tổng số cách sắp xếp $16$ cuốn sách này vào $5$ ngăn kệ thỏa mãn điều kiện trên là $T$. Tính giá trị của $\frac{T}{512}$?

Câu 6. Để chuẩn bị cho lễ kỷ niệm $110$ năm ngày thành lập trường THPT Hai Bà Trưng, Đoàn trường thiết kế một bảng trang trí gồm $12$ ô vuông xếp thành lưới như hình vẽ. Các học sinh lớp 12A4 được giao nhiệm vụ gắn các chữ cái bằng đèn led lên bảng, bao gồm: $2$ chữ **H**, $1$ chữ **B** và $3$ chữ **T** (viết tắt của cụm từ "Hai Bà Trưng").



Biết mỗi ô vuông chỉ gắn tối đa một chữ cái. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái này sao cho trên bảng xuất hiện ít nhất một dòng chữ **HBT** (theo hàng từ trái qua phải hoặc theo cột từ trên xuống dưới) và không có hàng nào bị trống?

Từ các chữ số $0;1;2;3;4;5$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số phân biệt?

Một nhóm học sinh gồm $7$ bạn nam và $4$ bạn nữ đứng ngẫu nhiên thành một hàng. Xác suất để có đúng $2$ trong $4$ bạn nữ đứng cạnh nhau là:

Câu 6. Cho hình vẽ bên gồm $4$ tam giác. Người ta chọn $3$ số phân biệt từ tập hợp $S=\{1;2;\dots ;26\}$ để xếp vào $3$ tam giác ở $3$ góc. Sau đó, tính tổng bình phương của $3$ số đó rồi ghi kết quả vào tam giác còn lại ở giữa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho số ghi ở tam giác giữa là một số chia hết cho $5$?

Từ các số 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau sao cho tổng các số ở hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8 ?

Thầy giáo Dương có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả 3 loại câu (khó, dễ, trung bình) và số câu dễ không ít hơn 2?

Có bao nhiêu cách xếp $7$ học sinh trong một tổ (trong đó có hai bạn A và B) thành một hàng ngang sao cho hai bạn A và B đứng gần nhau?

Có bao nhiêu cách xếp 4 học sinh nam và 4 học sinh nữ ngồi vào một dãy gồm 8 ghế hàng dọc sao cho học sinh nam và nữ ngồi xen kẽ nhau?

Từ các chữ số $0,1,2,3,4,5,6$ lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có hai chữ số khác nhau?

Câu 1. Nhân dịp kỉ niệm 136 năm ngày sinh nhật Bác Hồ (19/5/1890 – 19/5/2026), trong giờ học Toán, cô Ánh tổ chức cho các bạn học sinh trong lớp chơi một trò chơi. Theo quy tắc mà cô đưa ra, mỗi học sinh cần chọn mười số khác nhau từ tập hợp $S$ gồm các số tự nhiên từ $1$ đến $1890$ và xếp mười số đó vào mười vị trí được đánh dấu trước trên một hình ngôi sao như hình vẽ dưới (các vị trí gồm $A_1,A_3,A_5,A_7,A_9$ đặt tại các đỉnh của ngôi sao và $A_2,A_4,A_6,A_8,A_{10}$ đặt tại giao điểm của các đường chéo của ngôi sao – quan sát hình vẽ).



Cô Ánh có hai loại phần quà: phần quà **Cháu yêu Bác Hồ** và phần quà **Muôn đời nhớ Bác**.
- Để nhận được phần quà **Cháu yêu Bác Hồ**, học sinh phải xếp được các số vào các vị trí $A_1,A_2,A_3,\dots ,A_9,A_{10}$ theo thứ tự tăng dần, đồng thời các số được điền đều thuộc đoạn $[5;19]$.
- Để nhận được phần quà **Muôn đời nhớ Bác**, học sinh phải xếp được các số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
1) Bộ năm số được điền ở bộ năm vị trí $(A_1,A_3,A_5,A_7,A_9)$ lập thành một **cấp số nhân với công bội là số nguyên** theo thứ tự đó.
2) Tất cả các bộ ba số được điền ở các bộ ba vị trí $(A_1,A_2,A_3)$, $(A_3,A_4,A_5)$, $(A_5,A_6,A_7)$, $(A_7,A_8,A_9)$ và $(A_9,A_{10},A_1)$ đều lập thành **cấp số cộng** theo thứ tự đó.

Bạn Cường được tham gia trò chơi đầu tiên. Hỏi có bao nhiêu cách điền số vào hình ngôi sao để bạn Cường nhận được một trong hai phần thưởng của cô Ánh?

Có $25$ cặp vận động viên tham gia cuộc thi bóng bàn đôi nam nữ quốc tế. Tại lễ khai mạc, một số vận động viên bắt tay nhau và hai người trong cùng một cặp thì không bắt tay. Sau lễ khai mạc, một vận động viên nam hỏi tất cả các vận động viên còn lại về số người mà họ đã bắt tay và nhận thấy số lượng vận động viên mà từng người đã bắt tay đều khác nhau. Hỏi người bạn nữ cùng cặp của vận động viên nam này đã bắt tay với bao nhiêu vận động viên?

Cho các chữ số $0;2;3;4;5;7;8$. Từ các chữ số đó có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 20 và luôn xuất hiện chữ số 4?

Trên đường đi từ nhà Mạnh tại vị trí điểm $M$ đến trường tại vị trí điểm $C$ có vị trí điểm $A$ người ta đang thi công sửa chữa đường nên không thể đi qua được. Biết rằng toàn bộ cung đường theo bản đồ từ dưới lên trên và từ trái qua phải là đường một chiều nên Mạnh chỉ được phép đi lên hoặc đi sang phải. Vậy Mạnh có bao nhiêu cách đi từ nhà đến trường?

Câu 17. Một nhóm gồm $5$ bạn nam, $4$ bạn nữ và thầy giáo đứng thành $2$ hàng, mỗi hàng $5$ người để chụp ảnh kỉ niệm. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng để khi đứng, thầy giáo xen giữa hai bạn nam đồng thời các bạn nữ không đứng cạnh nhau trong cùng một hàng bằng

Câu 11. Từ các số $0,1,2,\dots ,8$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số đôi một khác nhau mà có $3$ chữ số chẵn, $2$ số lẻ và hai số $2,3$ không đồng thời có mặt.