Đề Khảo Sát Chất Lượng đội tuyển HSG Toán 12 Lần 1 2026-2027 Cụm THPT Hoằng Hóa - Thanh Hóa (Mã Đề 1001)

Câu 1. Xét các số thực âm $x,y$ mà $2xy+y$ là các số nguyên thỏa mãn phương trình: $\left(\sqrt{{\log }_3(2xy+y)+1}-2\right)\left({\log }_3(2xy+y)+2\right)-\sqrt[3]{2{\log }_3(2xy+y)+1}+3=0.$ Khi biểu thức $P=8x+y$ đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của biểu thức $Q=4x+3y$ bằng

Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{2-x}}{x^2+4x+m-1}$ có đúng $3$ đường tiệm cận?

Câu 3. Cho tứ diện đều $ABCD$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,AD$ và $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$, $\alpha$ là góc giữa $2$ vectơ $\overrightarrow{MG}$ và $\overrightarrow{NP}$. Khi đó $4{\sin }^2\alpha +12$ có giá trị là

Câu 4. Cho hai số thực dương $a,b$ thoả mãn ${\log }_{a+1}\left(3a^2+2b^2-6b+6\right)\le 2$. Giá trị biểu thức $a+b$ bằng

Câu 5. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:



Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 6. Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_n=2u_{n-1}+1;n\ge 2\end{array}$. Tổng $S=u_1+u_2+\cdots +u_{20}$ bằng

Câu 7. Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Trai với thiết kế một khối cầu như viên ngọc trai, bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng. Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là $R=3\sqrt{3}\text{ cm}$. Tính thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 8. Có hai túi đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Túi I có $6$ viên bi màu xanh và $10$ viên bi màu đỏ. Túi II có $15$ viên bi màu xanh và $6$ viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Xác suất để hai viên bi được lấy ra là hai viên bi khác màu là

Câu 9. Khảo sát thời gian chơi thể thao trong một ngày của $42$ học sinh được cho trong bảng sau (thời gian đơn vị phút):



Phương sai của mẫu số liệu (được làm tròn đến hàng đơn vị) bằng

Câu 10. Một chất điểm chịu tác động bởi $3$ lực ${\vec{F}}_1,{\vec{F}}_2,{\vec{F}}_3$ có chung điểm đặt $A$ và có giá vuông góc với nhau từng đôi một. Biết cường độ của các lực ${\vec{F}}_1,{\vec{F}}_2,{\vec{F}}_3$ lần lượt là $10\text{ N},8\text{ N}$ và $5\text{ N}$, xác định hợp lực của $3$ lực và tính cường độ của hợp lực (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Câu 11. Từ các số $0,1,2,\dots ,8$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số đôi một khác nhau mà có $3$ chữ số chẵn, $2$ số lẻ và hai số $2,3$ không đồng thời có mặt.

Câu 12. Chỉ số ô nhiễm không khí (AQI) tại thủ đô Hà Nội trong tháng 6/2024 được thống kê vào 10h30 sáng các ngày trong tháng thể hiện trong bảng số liệu sau:



Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?

Câu 13. Gọi $a,b$ là các giá trị để hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+ax+b}{x^2-4},& x<-2\\ x+1,& x\ge -2\end{array}$ có giới hạn hữu hạn khi $x$ dần tới $-2$. Tính $3a+b$?

Câu 14. Cho hàm số $y=f(x)$ thỏa mãn $f(x+2)=x-f^2(2-x)(1)$. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm có hoành độ $x=2$ là đường thẳng có phương trình $y=ax+b$. Tổng tất cả các giá trị của $a$ và $b$ là:

Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(m;3;2)$, $B(1;0;-1)$, $C(2;n-2;0)$ và $D(-2;p;3)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=m^2+n^2+p^2$ biết rằng $ABCD$ là hình bình hành.

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(3;2;6)$, $B(3;-1;0)$, $C(0;7;3)$, $D(-2;1;6)$. Gọi $M(a;b;c)$ thuộc đường thẳng $AB$ sao cho chu vi tam giác $CDM$ nhỏ nhất, khi đó $\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MD}$ bằng?

Câu 17. Tập xác định của hàm số $y=\frac{\cot x}{\sqrt{1-\sin x}}$ là

Câu 18. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $1$, $SA=2$, $SA\perp (ABCD)$. Giá trị của biểu thức $S=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AS}\right|$ bằng

Câu 19. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;5;3)$, $B(-1;1;2)$, $C(6;0;4)$. Tọa độ điểm $M(0;b;c)$ thuộc $\text{mp}(Oyz)$ thỏa mãn $T=\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $c+b$

Câu 20. Số nghiệm thuộc đoạn $[1;5]$ của phương trình $\sin \left(\pi (x^2+2x+2)\right)=1$ là

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(2;3;-1)$, $B(0;4;2)$, $C(1;2;-1)$, $D(7;2;1)$.

Câu 2. Một tổ có $10$ học sinh với tên gọi khác nhau gồm $5$ bạn nam và $5$ bạn nữ. Giáo viên chọn và xếp ngẫu nhiên $9$ học sinh trong tổ đó vào $9$ ô vuông của lưới để chơi trò chơi dân gian. Biết rằng mỗi ô vuông chỉ xếp đúng $1$ học sinh và trong tổ đó có một học sinh tên là An.

Câu 3. Kết quả điều tra về điểm trung bình năm học 2025 – 2026 của học sinh hai trường $A$ và $B$. Người ta lập được bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên như sau:



Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Câu 4. Cho $a,b$ là các số thực thỏa mãn $1<a\le b\le a^6$.

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;3)$, $B(1;3;2)$, $C(3;1;2)$.

Câu 6. Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có hai cực trị $-1;1$ thỏa mãn $f(2)=2f(0)$, $f^{\prime }(2)=9$. Xác định tính đúng - sai của các mệnh đề sau:

Câu 1. Một vật lưu niệm làm bằng thuỷ tinh có dạng hình lăng trụ đều có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $AB=10\text{ (cm)}$. Phía bên trong làm bằng nhựa đặc là hình chóp cụt đều $MNPQ.ABCD$ có $MN=5\text{ (cm)}$ và chiều cao bằng chiều cao của lăng trụ như hình vẽ. Biết rằng khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(CDQP)$ bằng $3\sqrt{10}\text{ (cm)}$. Phần khoảng trống bên trong vật lưu niệm người ta bơm chất lỏng có màu sắc (xem độ dày thành vật thể không đáng kể). Khi đó thể tích phần chất lỏng bơm vào là bao nhiêu lít? (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 2. Hình vẽ dưới đây là hai bánh răng của một động cơ, chúng có cùng kích thước. Khi động cơ hoạt động, hai bánh răng quay đều cùng chiều. Biết tốc độ quay của bánh răng ở hình 2 gấp ba tốc độ quay của bánh răng ở hình 1 và phương trình biểu thị độ cao của điểm $A$ ở bánh răng thứ nhất là $h=2R+R\sin \left(\frac{\pi t}{5}\right)$ (trong đó $R$ là bán kính bánh răng, $t$ là thời gian tính bằng giây, $h$ là độ cao của điểm $A$). Giả sử tại thời điểm bắt đầu khởi động, hai điểm $A$ và $B$ có độ cao bằng nhau. Sau bao nhiêu giây kể từ thời điểm đầu tiên sau khi động cơ hoạt động hai điểm $A$ và $B$ có độ cao bằng nhau (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Câu 3. Một lớp học có tổng số $36$ học sinh, trong đó số học sinh nữ nhiều hơn số học sinh nam. Lớp học được chia thành hai nhóm, nhóm 1 gồm các học sinh nữ và nhóm 2 gồm các học sinh nam để khảo sát về kĩ năng bơi của học sinh. Biết mỗi học sinh chỉ tích chọn một trong hai hình thức: biết bơi hoặc chưa biết bơi và nhóm nào cũng có cả hai hình thức. Lấy ngẫu nhiên mỗi nhóm một học sinh, xác suất lấy được hai học sinh biết bơi là $\frac{140}{299}$. Biết số học sinh nam biết bơi là số lẻ, tính số học sinh nữ biết bơi?

Câu 4. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[2;4]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.

![Bảng biến thiên của f(x) trên đoạn [2; 4]](https://cdn.dethichuan.com/toan/images/2dd46b956255e060f5d346a265225721ddafdabac2d9b01f08fdaa9f81eb6f2c/q30-fig1.png)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $3x+6\sqrt{x^2-2x}=(2m-1)\cdot f(x)$ có nghiệm thuộc đoạn $[2;4]$?

Câu 5. Cho $x,y$ là hai số thực không âm và không đồng thời bằng không thỏa mãn: $\log {\left(\frac{x^2+y^2+25}{x+y}\right)}^{x^2+y^2+10}=\frac{10x+10y-25}{x^2+y^2}+x^2+y^2+9.$ Gọi $m,M$ là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=\frac{4x+5y-10}{x+y}$, tính $T=12M^2+8m$.

Câu 6. Một doanh nghiệp chuyên sản xuất một loại sản phẩm, biết nhu cầu của thị trường và chi phí của loại sản phẩm này lần lượt là $Q=5000-\frac{P}{3}$, $C(Q)=Q^2+2200Q+500$, trong đó $Q$ là số sản phẩm và $P$ là giá bán của một sản phẩm. Hãy xác định mức thuế $t$ cần định trên một đơn vị sản phẩm sản xuất ra sao cho doanh nghiệp thu được lợi nhuận là cao nhất và Nhà Nước thu được tiền thuế nhiều nhất.