Có bao nhiêu cách xếp $7$ học sinh trong một tổ (trong đó có hai bạn A và B) thành một hàng ngang sao cho hai bạn A và B đứng gần nhau?

Một máy chủ cần xử lý tuần tự $15$ tệp dữ liệu khác nhau, bao gồm: $3$ tệp văn bản, $5$ tệp âm thanh và $7$ tệp video. Việc xử lý liên tục các tệp dữ liệu cùng loại sẽ làm giảm hiệu suất của hệ thống. Do đó, hệ thống phải sắp xếp thứ tự xử lý sao cho không có bất kỳ hai tệp dữ liệu cùng loại nào (văn bản, âm thanh, video) được xếp liền kề nhau. Gọi $S$ là số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu trên. Hãy tính tổng các chữ số của $S$.

Một hợp tác xã nông nghiệp cần phân phối một lô thùng sầu riêng (các thùng được đóng gói tiêu chuẩn giống hệt nhau) đến $4$ đại lý bán lẻ trên địa bàn. Để đảm bảo điều kiện bảo quản trong kho lạnh, mỗi đại lý phải nhận tối thiểu $6$ thùng và tối đa $12$ thùng. Biết rằng hợp tác xã dự kiến xuất kho tổng cộng từ $30$ đến $42$ thùng. Gọi $T$ là số cách hợp tác xã phân phối lô sầu riêng này đến các đại lý. Tìm $T$.

Cho tập $S=\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;16;18\}$. Gọi $T$ là số cách xếp $9$ số phân biệt được chọn từ $S$ vào $9$ ô vuông của bảng $3\times 3$ như hình vẽ sao cho các số trên cả hai đường chéo đều theo thứ tự lập thành các cấp số nhân.
[IMAGE_1]
Giá trị của $\frac{T}{80}$ bằng bao nhiêu?

Từ các số 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau sao cho tổng các số ở hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8 ?

Bác Huy định tô màu hình vẽ là hình tròn được chia thành $5$ phần $O,A,B,C,D$ bằng $6$ màu khác nhau (mỗi phần tô một màu) sao cho hai phần hình cạnh nhau thì không được tô cùng màu ($2$ phần có chung biên được gọi là cạnh nhau: $C$ và $D$ được gọi là cạnh nhau; $C$ và $A$ gọi là không cạnh nhau...). Bác Huy có bao nhiêu cách tô màu thoả mãn yêu cầu trên?

Cho hình vẽ bên gồm $4$ tam giác. Người ta chọn $3$ số phân biệt từ tập hợp $S=\{1;2;\dots ;25\}$ để xếp vào $3$ tam giác ở $3$ góc. Sau đó, tính tổng lập phương của $3$ số đó rồi ghi kết quả vào tam giác còn lại ở giữa. Gọi $M$ là số cách xếp sao cho số ghi ở tam giác giữa là một số chia hết cho $9$. Tính $M-19$.