Từ các số 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau sao cho tổng các số ở hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8 ?

Bác Huy định tô màu hình vẽ là hình tròn được chia thành $5$ phần $O,A,B,C,D$ bằng $6$ màu khác nhau (mỗi phần tô một màu) sao cho hai phần hình cạnh nhau thì không được tô cùng màu ($2$ phần có chung biên được gọi là cạnh nhau: $C$ và $D$ được gọi là cạnh nhau; $C$ và $A$ gọi là không cạnh nhau...). Bác Huy có bao nhiêu cách tô màu thoả mãn yêu cầu trên?

Cho hình vẽ bên gồm $4$ tam giác. Người ta chọn $3$ số phân biệt từ tập hợp $S=\{1;2;\dots ;25\}$ để xếp vào $3$ tam giác ở $3$ góc. Sau đó, tính tổng lập phương của $3$ số đó rồi ghi kết quả vào tam giác còn lại ở giữa. Gọi $M$ là số cách xếp sao cho số ghi ở tam giác giữa là một số chia hết cho $9$. Tính $M-19$.

Từ các chữ số $0;1;2;3;4;5$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số phân biệt?

Một mạng lưới gồm $4$ trạm liên lạc vệ tinh được đặt tại các vị trí $A,B,C$ và $D$ tạo thành một tứ diện. Ban đầu, tín hiệu được phát đi từ trạm tại đỉnh $A$. Sau mỗi lần truyền, tín hiệu sẽ được truyền ngẫu nhiên sang một trạm khác nằm ở đỉnh kề với trạm hiện tại (tức là nối với nhau bằng một cạnh của tứ diện). Hỏi sau đúng $4$ lần truyền, có bao nhiêu cách để tín hiệu quay trở lại trạm tại đỉnh $A$?

Có $25$ cặp vận động viên tham gia cuộc thi bóng bàn đôi nam nữ quốc tế. Tại lễ khai mạc, một số vận động viên bắt tay nhau và hai người trong cùng một cặp thì không bắt tay. Sau lễ khai mạc, một vận động viên nam hỏi tất cả các vận động viên còn lại về số người mà họ đã bắt tay và nhận thấy số lượng vận động viên mà từng người đã bắt tay đều khác nhau. Hỏi người bạn nữ cùng cặp của vận động viên nam này đã bắt tay với bao nhiêu vận động viên?

Từ tập hợp số tự nhiên $\{1;2;3;\dots ;25;26\}$, bạn An cần chọn ra $10$ số phân biệt để gán vào $10$ ô vuông đơn vị như hình vẽ. Gọi $S$ là số cách chọn số sao cho mọi số ở hàng trên luôn nhỏ hơn mọi số hàng dưới, mọi số bên trái luôn nhỏ hơn mọi số bên phải cùng hàng, đồng thời các số thuộc các ô $A,B,C,D$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tính giá trị $\frac{S}{8}$.