Cho tập $S=\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;16;18\}$. Gọi $T$ là số cách xếp $9$ số phân biệt được chọn từ $S$ vào $9$ ô vuông của bảng $3\times 3$ như hình vẽ sao cho các số trên cả hai đường chéo đều theo thứ tự lập thành các cấp số nhân.
[IMAGE_1]
Giá trị của $\frac{T}{80}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: $2520$.
Gọi số ở ô giữa là $b$. Mỗi đường chéo là một cấp số nhân $(x;b;z)\Rightarrow xz=b^2$.
Trong tập $S$, xét các cặp phân biệt có tích bằng $b^2$ (và khác $b$):
- Với $b=4$: Có $2$ cặp $(1;16),(2;8)$ $\Rightarrow$ có $1$ cách chọn hai cặp rời nhau.
- Với $b=6$: Có $3$ cặp $(2;18),(3;12),(4;9)$ $\Rightarrow$ có $C_3^2=3$ cách chọn hai cặp rời nhau.
- Với $b=12$: Có $2$ cặp $(8;18),(9;16)$ $\Rightarrow$ có $1$ cách chọn hai cặp rời nhau.
Tổng số cách chọn $b$ và hai cặp rời nhau cho hai đường chéo là $1+3+1=5$ cách.
Với mỗi lựa chọn:
- Gán hai cặp cho hai đường chéo và chọn thứ tự tăng/giảm trên mỗi đường chéo: $2\cdot 2\cdot 2=8$ cách.
- Điền $4$ ô còn lại: chọn và xếp $4$ số trong $10$ số còn lại của $S$: $A_{10}^4=\frac{10!}{6!}=5040$ cách.
Vậy số cách xếp là $T=5\cdot 8\cdot A_{10}^4=40\cdot 5040$, nên $\frac{T}{80}=\frac{40\cdot 5040}{80}=2520$.