Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khoảng cách hai đường chéo nhau không tọa độ (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AD$. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD\perp CD$. Đường thẳng $AD$ cắt cả $SA$ (tại $A$) và $CD$ (tại $D$), đồng thời vuông góc với cả hai, nên $AD$ là đường vuông góc chung của $SA$ và $CD$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $b\parallel (\alpha )$ nên khoảng cách từ mọi điểm $P\in b$ đến $(\alpha )$ đều bằng nhau và bằng khoảng cách từ $b$ đến $(\alpha )$. Mặt khác $(\alpha )\supset a$ và $a,b$ chéo nhau nên khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a,b$ chính bằng khoảng cách từ $b$ đến $(\alpha )$, tức bằng $d(P,(\alpha ))$ với $P\in b$. Vậy mệnh đề C đúng. Các mệnh đề A, B sai vì khoảng cách từ một điểm tùy ý trên $a$ (hoặc $b$) đến đường thẳng kia không phải luôn bằng khoảng cách giữa hai đường chéo nhau (chỉ đúng với điểm có hình chiếu vuông góc phù hợp). Mệnh đề D sai vì điểm $M$ tùy ý thuộc $(\alpha )$ đến $b$ nói chung không bằng khoảng cách giữa hai đường.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $OA\perp OB$ và $OA\perp OC$ nên $OA\perp (OBC)$, do đó $\mathrm{d}(OA,BC)=\mathrm{d}(O,BC)$. Trong tam giác vuông cân $OBC$ tại $O$ với $OB=OC=a$, đường cao từ $O$ xuống $BC$ (cũng là trung tuyến) có độ dài bằng nửa cạnh huyền: $BC=a\sqrt{2}$, nên $\mathrm{d}(O,BC)=\frac{BC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$. Vậy khoảng cách giữa $OA$ và $BC$ bằng $\frac{a}{\sqrt{2}}$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB\parallel DC$. Vì $SD\perp (ABCD)$ nên $SD\perp DC$, do đó $SD\perp AB$ (hai đường thẳng chéo vuông góc). Khoảng cách giữa $SD$ và $AB$ bằng khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $SD$. Trong mặt phẳng $(SAD)$, tam giác $SAD$ vuông tại $D$ vì $SD\perp AD$, nên $AD\perp SD$ tại $D$. Vậy $d(SD,AB)=d(A,SD)=AD=7a$. Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $D{D}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ nên $D{D}^{\prime }\parallel (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. Do đó khoảng cách giữa $A{B}^{\prime }$ và $D{D}^{\prime }$ bằng khoảng cách từ $D{D}^{\prime }$ đến mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, tức bằng $AD=a$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$, $B^{\prime }(a,0,a)$, $D^{\prime }(0,a,a)$. Đường thẳng $A{B}^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1,0,1)$, đường thẳng $C{D}^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(-1,0,1)$. Lấy $\overrightarrow{CA}=(-a,-a,0)$. Ta có $\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=(0,-2,0)$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: $d(A{B}^{\prime },C{D}^{\prime })=\frac{|\overrightarrow{CA}\cdot (\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2})|}{|\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}|}=\frac{|2a|}{2}=a$. Vậy đáp án B. Cách khác: $A{B}^{\prime }\parallel D^{\prime }C$ nên khoảng cách giữa $A{B}^{\prime }$ và $C{D}^{\prime }$ bằng khoảng cách từ $D^{\prime }$ đến mặt phẳng $(A{B}^{\prime }C)$, tính được cũng bằng $a$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SH\perp (ABC)$ nên $SH$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy. Đường thẳng $BC$ nằm trong $(ABC)$ và không đi qua $H$, nên đoạn vuông góc chung của $BC$ và $SH$ là đoạn vuông góc kẻ từ $H$ xuống $BC$. Do đó $d(BC,SH)=d(H,BC)=HK$. K là trung điểm $BC$, H là trung điểm $AB$ nên $HK$ là đường trung bình của tam giác $ABC$: $HK=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{2}a}{2}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình lập phương là $a$. Chọn hệ tọa độ $A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),A^{\prime }(0,0,a),C^{\prime }(a,a,a)$. Đường thẳng $BD$ có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(-1,1,0)$, đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ có $\overrightarrow{u_2}=(1,1,0)$. Véc-tơ pháp tuyến chung $\vec{n}=\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=(0,0,-2)$. Lấy $P=B(a,0,0)\in BD$, $Q=A^{\prime }(0,0,a)\in A^{\prime }{C}^{\prime }$, khi đó $\overrightarrow{PQ}=(-a,0,a)$. Khoảng cách $$d(BD,A^{\prime }{C}^{\prime })=\frac{|\overrightarrow{PQ}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|-2a|}{2}=a.$$ Về hình học: $\vec{n}=(0,0,1)$ chính là phương thẳng đứng, tức vuông góc chung với cả $BD$ (nằm trong mặt phẳng đáy) và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ (nằm trong mặt phẳng trên), nên khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy, bằng cạnh $a=C{C}^{\prime }$. Vậy $d(BD,A^{\prime }{C}^{\prime })=C{C}^{\prime }$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 12: C). Lưu ý: không thể dùng khoảng cách từ $C^{\prime }$ đến mặt phẳng $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ vì $A^{\prime }{C}^{\prime }$ không song song mà cắt mặt phẳng đó tại tâm hình lập phương; véc-tơ vuông góc chung có phương thẳng đứng nên kết quả đúng là $a$.

Ta có $SA\perp (ABC)$ nên suy ra $SA\perp AB$.
Trong mặt phẳng $(ABC)$, hạ $AH\perp BC$ tại $H$.
Vì $AH\perp BC$ và $AH\perp SA$ (do $SA\perp (ABC)$) nên đoạn thẳng $AH$ chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $SA$ và $BC$.
Do đó, khoảng cách giữa $SA$ và $BC$ chính bằng độ dài đoạn thẳng $AH$.
Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$, ta có:
$$AH=AB\cdot \sin \left(\widehat{ABC}\right)=a\cdot \sin (60^{\circ })=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $AB$ và $C{C}^{\prime }$ chéo nhau. Vì $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel (CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$, do đó khoảng cách giữa $AB$ và $C{C}^{\prime }$ bằng khoảng cách từ $AB$ đến mặt phẳng $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$, cũng bằng khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng đó. Trong hình lập phương, $BC\perp CD$ và $BC\perp C{C}^{\prime }$ nên $BC\perp (CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$. Vậy khoảng cách cần tìm là $BC=a$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel DC$ nên $AB\parallel (DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, do đó khoảng cách giữa $AB$ và $D{D}^{\prime }$ bằng khoảng cách từ $AB$ đến mặt phẳng $(DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. Ta có $AB\perp AD$ và $AB\perp D{D}^{\prime }$ nên $AB\perp (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$. Khoảng cách từ $AB$ đến $(DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ bằng $AD=a$ (vì $AD\perp AB$, $AD\subset (DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$... chính xác hơn: khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $AB$ và $D{D}^{\prime }$ là độ dài đoạn vuông góc chung; vì $D{D}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $D{D}^{\prime }\perp AD$, mà $AD\perp AB$, vậy $AD$ là đoạn vuông góc chung và khoảng cách bằng $AD=a$). Đáp án A, trùng với đáp án nguồn.

Ta có $B{B}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ mà $A{A}^{\prime }\subset (A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ nên $B{B}^{\prime }\parallel (A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$.
Đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }\subset (A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ nên khoảng cách giữa $B{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ là:
$d(B{B}^{\prime },A^{\prime }{C}^{\prime })=d(B{B}^{\prime },(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C))=d(B,(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C))$.
Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $O=AC\cap BD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BO\perp AC$, lại có $BO\perp A{A}^{\prime }$ nên $BO\perp (A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$.
Do đó $d(B,(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C))=BO=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Phương pháp: Kẻ đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng chéo nhau $SO$ và $CD$.
Cách giải: Vì $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp OH$ với $H$ là trung điểm của $CD$. Đồng thời $OH\perp CD$.
Do đó khoảng cách giữa $SO$ và $CD$ bằng $OH=\frac{a}{2}$.
Chọn A.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$ và $N$ là trung điểm $CD$.
Vì $ABCD$ là tứ diện đều nên tam giác $ACD$ và $BCD$ đều, suy ra $AN=BN=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Tam giác $ABN$ cân tại $N$ nên trung tuyến $MN\perp AB$.
Tương tự, $MN\perp CD$. Vậy $MN$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CD$.
Trong tam giác vuông $AMN$ tại $M$:
$MN=\sqrt{A{N}^2-A{M}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{2a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$
Chọn D.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Trong tam giác đều $ABC$ cạnh $4$, $AM\perp BC$ và $AM=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$. Vì $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$ nên $A{A}^{\prime }\perp AM$, suy ra $AM$ là đoạn vuông góc chung của $A{A}^{\prime }$ và $BC$. Vậy $d(A{A}^{\prime },BC)=AM=2\sqrt{3}$.

Chọn A

CO \perp BD  AC a 2
Ta có:  $\Rightarrow$ d ( BD; CC ') = CO = = .
CO \perp C ' C  2 2

Hình lập phương có 6 mặt bằng nhau, mỗi mặt là hình vuông cạnh $x$. Tổng diện tích tất cả các mặt là $6x^2=24a^2\iff x^2=4a^2\iff x=2a$. Đường thẳng $BD$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. Hai mặt phẳng đáy $(ABCD)$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ song song với nhau. Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $BD$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ chính bằng khoảng cách giữa hai mặt đáy, tức bằng chiều cao hình lập phương: $d(BD,A^{\prime }{C}^{\prime })=x=2a$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn D.

[IMAGE_1]

Gọi $H$ là trung điểm của $BC\Rightarrow AH\perp BC$ $(1)$.

Mặt khác $A{A}^{\prime }\perp (ABC)\Rightarrow A{A}^{\prime }\perp AH$ $(2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $d(A{A}^{\prime },BC)=AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

**Chọn D**

Vì $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên khoảng cách giữa $C{C}^{\prime }$ và $BD$ bằng khoảng cách từ điểm $C$ đến đường thẳng $BD$ trong mặt phẳng $(ABCD)$:
$d(C{C}^{\prime },BD)=d(C,BD)=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{3}$.

Gọi $O=AC\cap BD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AO\perp BD$. Lại có $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp AO$. Do đó $AO$ là đoạn vuông góc chung của $SA$ và $BD$. Khoảng cách giữa $SA$ và $BD$ là $d(SA,BD)=AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(2a\sqrt{2})=a\sqrt{2}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn A.