Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $D{D}^{\prime }$ là

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$ là

Khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh $a$, chiều cao $2a$, có thể tích là

Tung một đồng xu cân đối đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố A: “Lần thứ nhất xuất hiện mặt sấp”, B: “Lần thứ hai xuất hiện mặt sấp”. Khi đó biến cố $A\cup B$ là:

Cho phép thử T với không gian mẫu $\Omega =\{1;2;3;5;6;8;9;10\}$. Cặp biến cố nào sau đây là xung khắc?

Cho hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc. Biết $P(A)=0,45$ và $P(A\cup B)=0,65$. Tính xác suất của biến cố $B$.

Có hai túi đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Túi I có 5 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu đỏ. Túi II có 12 viên bi màu xanh và 3 viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Tính xác suất để hai bi lấy được có cùng màu đỏ.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$ với $AB=a$ và $AD=2a$. Biết rằng $SO$ vuông góc với mặt phẳng đáy và thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $2a^3$.

Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 18 học sinh tham gia môn bóng đá và 10 học sinh tham gia môn bóng chuyền, trong đó có 6 học sinh tham gia cả hai môn bóng đá và bóng chuyền. Thầy giáo chọn ngẫu nhiên một học sinh từ lớp học để làm nhiệm vụ đặc biệt, gọi $A$ là biến cố: “Chọn được một học sinh tham gia môn bóng đá”, $B$ là biến cố: “Chọn được một học sinh tham gia môn bóng chuyền”. Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $△ABC$ vuông cân tại $A$, $AB=2$, $A{A}^{\prime }=\sqrt{2}$. Tính thể tích $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (làm tròn đến hàng phần chục).

Hai người độc lập cùng ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết rằng xác suất ném bóng vào được rổ của từng người tương ứng là 0,2 và 0,3. Tính xác suất để chỉ có một người ném bóng vào được rổ.

Lớp 11/4 trường THPT Phạm Phú Thứ có 24 học sinh nam và 21 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai bạn từ lớp này để tham dự cuộc họp của trường. Xác suất chọn được hai bạn có cùng giới tính để đi dự cuộc họp là $\frac{p}{q}$ (với $\frac{p}{q}$ là phân số tối giản). Tính $q-p^2$.

Trong không gian, cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $C$, $AB=3\sqrt{6}$. Biết cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^{\circ }$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $y={\log }_3(x+1)-{\log }_3\left(x^2-1\right)$.

a) Tính giá trị của hàm số tại điểm $x=2$.

b) Tìm tập xác định của hàm số đã cho.

Hai chuyến bay của hai hãng hàng không $X$ và $Y$ hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để chuyến bay của hãng $X$ và hãng $Y$ khởi hành đúng giờ tương ứng là 0,8 và 0,9. Tính xác suất để có ít nhất một trong hai chuyến bay khởi hành đúng giờ.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $B$, $\widehat{ABC}=120^{\circ }$, $AB=2$. Mặt bên $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ tạo với đáy góc $60^{\circ }$, hình chiếu của $A^{\prime }$ lên mặt đáy là điểm $H$ sao cho $\widehat{HAB}=\widehat{HCB}=90^{\circ }$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.