Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$ với $AB=a$ và $AD=2a$. Biết rằng $SO$ vuông góc với mặt phẳng đáy và thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $2a^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích $V=\frac{1}{3}AB\cdot AD\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot a\cdot 2a\cdot SO=2a^3\Rightarrow SO=3a$.

a) Trong hình chữ nhật $ABCD$ có $AC\perp BD$; lại $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp AC$. Suy ra $AC\perp (SBD)$, do đó $AC\perp SD\subset (SBD)$. Mệnh đề ĐÚNG.

b) Vì $SO\perp (ABCD)$ nên hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $O$, do đó hình chiếu của $SB$ lên $(ABCD)$ là $OB$, không phải $DB$. Mệnh đề SAI.

c) Từ a) có $AC\perp (SBD)$ mà $AC\subset (SAC)$ nên $(SAC)\perp (SBD)$. Mệnh đề ĐÚNG.

d) $AC=a\sqrt{5}$ nên $AO=\frac{a\sqrt{5}}{2}$. Vì $AC\perp (SBD)$ nên $d(A,(SBD))=AO=\frac{\sqrt{5}}{2}a$. Mệnh đề ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AC\perp BD$ (hình chữ nhật) và $SO\perp AC$ nên $AC\perp (SBD)$, suy ra $AC\perp SD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $O$ nên hình chiếu của $SB$ là $OB$, không phải $DB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AC\perp (SBD)$ và $AC\subset (SAC)$ nên $(SAC)\perp (SBD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AC=a\sqrt{5}$, $AO=\frac{a\sqrt{5}}{2}$; do $AC\perp (SBD)$ nên $d(A,(SBD))=AO=\frac{\sqrt{5}}{2}a$.