Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $B$, $\widehat{ABC}=120^{\circ }$, $AB=2$. Mặt bên $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ tạo với đáy góc $60^{\circ }$, hình chiếu của $A^{\prime }$ lên mặt đáy là điểm $H$ sao cho $\widehat{HAB}=\widehat{HCB}=90^{\circ }$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ: $B=(0;0)$, $A=(2;0)$, vì tam giác $ABC$ cân tại $B$ với $\widehat{ABC}=120^{\circ }$, $AB=BC=2$ nên $C=(-1;\sqrt{3})$, do đó $AC=2\sqrt{3}$, diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin 120^{\circ }=\sqrt{3}$.

Tìm $H$: $\widehat{HAB}=90^{\circ }$ nghĩa là $HA\perp AB$ (trục hoành) nên $H$ có hoành độ $2$: $H=(2;y)$. Điều kiện $\widehat{HCB}=90^{\circ }$: $(H-C)\perp (C-B)$ với $C-B=(-1;\sqrt{3})$, $H-C=(3;y-\sqrt{3})$: $-3+\sqrt{3}(y-\sqrt{3})=0\Rightarrow y=2\sqrt{3}$. Vậy $H=(2;2\sqrt{3})$, $AH=2\sqrt{3}$, $HC=2\sqrt{3}$.

Vì $A^{\prime }H\perp (ABC)$, góc giữa mặt bên $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và đáy là góc nhị diện theo cạnh $AC$. Gọi $K$ là chân đường vuông góc hạ từ $H$ xuống $AC$, thì góc nhị diện là $\widehat{A^{\prime }KH}$ với $\tan \widehat{A^{\prime }KH}=\frac{A^{\prime }H}{HK}$.

Khoảng cách từ $H$ đến đường thẳng $AC$ (phương trình $\sqrt{3}x+3y-2\sqrt{3}=0$): $HK=\frac{|2\sqrt{3}\cdot 2+3\cdot 2\sqrt{3}-2\sqrt{3}|}{\sqrt{12}}=\frac{8\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=4$.

Suy ra $A^{\prime }H=HK\cdot \tan 60^{\circ }=4\sqrt{3}$.

Thể tích: $V=S_{ABC}\cdot A^{\prime }H=\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}=12$.