Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khoảng cách hai đường chéo nhau không tọa độ (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\perp (ACD)$ nên $AB\perp CD$ (vì $CD\subset (ACD)$), tức $AB$ và $CD$ chéo vuông góc. Khoảng cách giữa $AB$ và $CD$ bằng khoảng cách từ điểm $A$ (thuộc $AB$) đến đường thẳng $CD$ trong mặt phẳng $(ACD)$, chính là đường cao hạ từ $A$ của tam giác vuông tại $A$ với $AC=2$, $AD=3$. Ta có $CD=\sqrt{A{C}^2+A{D}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$. Diện tích tam giác: $\frac{1}{2}AC\cdot AD=\frac{1}{2}CD\cdot h\Rightarrow h=\frac{AC\cdot AD}{CD}=\frac{2\cdot 3}{\sqrt{13}}=\frac{6}{\sqrt{13}}\approx 1,664\approx 1,66$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 1,66.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD\parallel AB$. Lại có $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$. Do đó $AB$ là đường vuông góc chung của $SA$ và $CD$, khoảng cách giữa $SA$ và $CD$ bằng khoảng cách từ $A$ đến $CD$, tức $d(A,CD)=AD=BC=2a$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Lấy $M$ là trung điểm $BC$: tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AM\perp BC$ với $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Ta có $BC\perp AM$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAM)$, suy ra $BC\perp AM$. Vậy $d(SA,BC)=d(A,BC)=AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB=6,BC=8,AC=10$ nên $A{B}^2+B{C}^2=36+64=100=A{C}^2$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, suy ra $AB\perp BC$. Mặt khác $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$. Vậy $AB$ vuông góc với cả $SA$ và $BC$, tức $AB$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $SA$ và $BC$. Do đó $d(SA,BC)=AB=6$. (SB=9 chỉ là dữ kiện thừa, dùng để kiểm tra: $S{B}^2=S{A}^2+A{B}^2$ cho $SA=\sqrt{81-36}=3\sqrt{5}$, hợp lệ.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$, khoảng cách giữa $A{A}^{\prime }$ và $BD$ bằng khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(A{A}^{\prime }D)$. Mặt phẳng $(A{A}^{\prime }D)$ cắt mặt đáy theo $AD$, nên khoảng cách từ $B$ đến $(A{A}^{\prime }D)$ bằng khoảng cách từ $B$ đến $AD$ trong mặt đáy, tức đường cao của tam giác $ABD$ ứng với cạnh $BD$: $h=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{10\cdot 20}{\sqrt{10^2+20^2}}=\frac{200}{\sqrt{500}}=\frac{20}{\sqrt{5}}=4\sqrt{5}\approx 8.94$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ đều nên $BC\perp AB$. Từ đó $BC\perp (SAB)$ (vì $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$, cắt nhau tại $B$).
Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $SA$ và $BC$ bằng khoảng cách từ $BC$ đến mặt phẳng $(SAB)$, tức là độ dài đoạn vuông góc từ $B$ (điểm $BC$ cắt $(SAB)$) — chính là $AB$.
Vậy khoảng cách giữa $SA$ và $BC$ bằng $AB=6=6\sqrt{0}$, suy ra $a=6$, $b=0$, do đó $a+b=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$; vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$. Vậy $AB$ là đoạn vuông góc chung của $SA$ và $BC$, do đó $d(SA,BC)=AB$. Khớp với đáp án nguồn (Câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
A đúng: đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất nối hai điểm lần lượt nằm trên hai đường thẳng đó và ngược lại. B sai vì qua một điểm cho trước có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước (chỉ cần chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó qua điểm). C sai vì trong không gian qua một điểm có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. D sai vì ba đường thẳng chéo nhau từng đôi một không nhất thiết nằm trong ba mặt phẳng song song từng đôi một (các mặt phẳng chứa cặp đường thẳng có thể cắt nhau). Đáp án A khớp với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
A đúng: đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất nối một điểm trên mỗi đường thẳng, và điều ngược lại cũng đúng. B sai vì nếu điểm nằm trên mặt phẳng cho trước thì có vô số mặt phẳng vuông góc với nó. C sai vì trong không gian qua một điểm có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước (chỉ duy nhất trong mặt phẳng). D sai vì ba đường thẳng chéo nhau từng đôi một không nhất thiết nằm trong ba mặt phẳng song song từng đôi một.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A^{\prime }(0,0,1),B^{\prime }(1,0,1),C^{\prime }(1,1,1)$. Ta có $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(0,0,1)$, $\overrightarrow{C^{\prime }D}=(-1,0,-1)$. Xét $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=(0,1,0)$: tích vô hướng với cả hai vectơ trên đều bằng $0$, nên $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp B{B}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp C^{\prime }D$. Hơn nữa $B^{\prime }{C}^{\prime }$ cắt $B{B}^{\prime }$ tại $B^{\prime }$ và cắt $C^{\prime }D$ tại $C^{\prime }$, nên $B^{\prime }{C}^{\prime }$ là đường vuông góc chung. Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(1,1,1)$ có $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B{B}^{\prime }}=1\ne 0$; $\overrightarrow{A^{\prime }C}=(1,1,-1)$ có $\overrightarrow{A^{\prime }C}\cdot \overrightarrow{B{B}^{\prime }}=-1\ne 0$; $\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0,1,-1)$ có $\overrightarrow{A^{\prime }D}\cdot \overrightarrow{B{B}^{\prime }}=-1\ne 0$. Vậy đáp án là $B^{\prime }{C}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện đều cạnh $a=4\sqrt{2}$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Trong tứ diện đều, $MN$ vuông góc với cả $AB$ và $CD$ (do tam giác đều đối xứng), nên $MN$ là đoạn vuông góc chung và $d(AB,CD)=MN$. Tam giác $MCD$ cân tại $C$? Kiểm tra: $MC=MD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (đường trung bình/đường cao mặt bên), $CD=a$. Trong tam giác $MCD$, đường cao từ $M$ xuống $CD$ (chính là $MN$ vì $N$ trung điểm $CD$): $MN=\sqrt{M{C}^2-C{N}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Thay $a=4\sqrt{2}$: $d=\frac{4\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}=4$. Kiểm tra bằng thể tích: $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}=\frac{1}{6}AB\cdot CD\cdot d\Rightarrow d=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $A^{\prime }(0;0;1)$, $C^{\prime }(1;1;1)$. Đường $AB$ có VTCP $\vec{u}=(1;0;0)$, đường $A^{\prime }{C}^{\prime }$ có VTCP $\vec{v}=(1;1;0)$, nên $\vec{u}\times \vec{v}=(0;0;1)$ và $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(0;0;1)$. Khoảng cách: $d(AB,A^{\prime }{C}^{\prime })=\frac{|\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})|}{|\vec{u}\times \vec{v}|}=\frac{1}{1}=1$. Cách khác: $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên $d(AB,A^{\prime }{C}^{\prime })=d(AB,(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }))=A{A}^{\prime }=1$. Kết quả khớp đáp án nguồn (Mã đề 107, Phần III Câu 2 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
$AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ (mặt trên), nên $AB\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. Do đó $d(AB,A^{\prime }{C}^{\prime })=d(A,(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }))=A{A}^{\prime }=1$. Kiểm tra bằng tọa độ: $A(0,0,0),A^{\prime }(0,0,1),C^{\prime }(1,1,1)$, khoảng cách từ $A$ đến đường $A^{\prime }{C}^{\prime }$ là $\frac{|\overrightarrow{A^{\prime }A}\times \overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}|}{|\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}|}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$. Vậy đáp án là $1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ nên $AB\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$. Do $A^{\prime }{C}^{\prime }\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ không song song với $AB$, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng khoảng cách từ $AB$ đến mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, tức bằng khoảng cách từ $B$ đến $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$. Trong lập phương cạnh 1, khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng đáy trên $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ đúng bằng cạnh lập phương, bằng 1. Kiểm tra bằng tọa độ: $A(0,0,0),B(1,0,0),A^{\prime }(0,0,1),C^{\prime }(1,1,1)$; vecto chỉ phương $\vec{u}=(1,0,0)$, $\vec{v}=(1,1,0)$, $\overrightarrow{A{B}_0}=(0,0,1)$ với $B_0=B$; $[\vec{u},\vec{v}]=(0,0,1)$, khoảng cách $=|(0,0,1)\cdot (0,0,1)|/1=1$. Vậy đáp số là $1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD\parallel AB$. Do $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AD$, và $AD\perp CD$ (hình chữ nhật). Vậy $AD$ là đoạn vuông góc chung của $SA$ và $CD$, suy ra $d(SA,CD)=AD=BC=2a$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét các mệnh đề về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
- A đúng: khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một đường thẳng và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng kia.
- B đúng: khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
- C sai: khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia nói chung lớn hơn khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau; chỉ bằng khi điểm đó là chân đoạn vuông góc chung. Ví dụ với hai đường thẳng chéo nhau $a,b$, lấy điểm $M\in a$ tùy ý thì $d(M,b)\ge d(a,b)$, dấu bằng chỉ xảy ra tại một vị trí đặc biệt.
- D đúng: theo định nghĩa, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của chúng.
Vậy mệnh đề sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Gọi $H$ là trung điểm $BC$, tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AH\perp BC$ với $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Khi đó $BC\perp (SAH)$, suy ra $BC\perp AH$. Đoạn $AH$ vuông góc với cả $SA$ (vì $SA\perp (ABC)$) và $BC$, tức $AH$ là đoạn vuông góc chung của $SA$ và $BC$. Vậy $d(SA,BC)=AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB=6,BC=8,AC=10$ nên $A{B}^2+B{C}^2=36+64=100=A{C}^2$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, suy ra $AB\perp BC$. Lại có $SA\perp (ABC)\Rightarrow SA\perp BC$. Do đó $BC\perp (ABSA)$... cụ thể $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $SA$ và $BC$ bằng khoảng cách từ $A$ (thuộc $SA$) đến mặt phẳng $(SBC)$, mà $AB\perp (SBC)$ nên $d(SA,BC)=AB=6$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$. Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $BC$ và $A{A}^{\prime }$ bằng khoảng cách từ $A{A}^{\prime }$ (hay từ $A$) đến mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ chứa $BC$ và song song với $A{A}^{\prime }$. Vì $AB\perp BC$ và $AB\perp B{B}^{\prime }$ (lăng trụ đứng) nên $AB\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Vậy $d(BC,A{A}^{\prime })=d(A,(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }))=AB=4$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì ABCD là hình vuông nên CD ⊥ BC. Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD, kết hợp CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD. CD cắt BC tại C và cắt SD tại D nên CD là đường vuông góc chung của SD và BC. Đúng.
b) SA ⊥ (ABCD) và SA ⊂ (SAB) ⇒ (SAB) ⊥ (ABCD). Đúng.
c) $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}(a\sqrt{3}{)}^2\cdot a=\frac{1}{3}\cdot 3a^2\cdot a=a^3$. Đúng.
d) Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là A. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
CD ⊥ BC (hình vuông) và CD ⊥ (SAD) (vì CD ⊥ SA, CD ⊥ AD) nên CD ⊥ SD; CD cắt cả hai đường nên là đường vuông góc chung.
b) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ (ABCD), SA ⊂ (SAB) nên (SAB) ⊥ (ABCD).
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}(a\sqrt{3}{)}^2\cdot a=a^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu của S lên (ABCD) là A.