Cho hình hộp lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng $B{B}^{\prime }$ và $C^{\prime }D$ là đường thẳng

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A^{\prime }(0,0,1),B^{\prime }(1,0,1),C^{\prime }(1,1,1)$. Ta có $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(0,0,1)$, $\overrightarrow{C^{\prime }D}=(-1,0,-1)$. Xét $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=(0,1,0)$: tích vô hướng với cả hai vectơ trên đều bằng $0$, nên $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp B{B}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp C^{\prime }D$. Hơn nữa $B^{\prime }{C}^{\prime }$ cắt $B{B}^{\prime }$ tại $B^{\prime }$ và cắt $C^{\prime }D$ tại $C^{\prime }$, nên $B^{\prime }{C}^{\prime }$ là đường vuông góc chung. Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(1,1,1)$ có $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B{B}^{\prime }}=1\ne 0$; $\overrightarrow{A^{\prime }C}=(1,1,-1)$ có $\overrightarrow{A^{\prime }C}\cdot \overrightarrow{B{B}^{\prime }}=-1\ne 0$; $\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0,1,-1)$ có $\overrightarrow{A^{\prime }D}\cdot \overrightarrow{B{B}^{\prime }}=-1\ne 0$. Vậy đáp án là $B^{\prime }{C}^{\prime }$.