Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, $AB=6$, $BC=8$, $AC=10$, $SB=9$. Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=a\sqrt{3}$.
a. Chứng minh $(SBC)\perp (SAB)$.
b. Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=a\sqrt{5}$. a. Chứng minh $(SCD)\perp (SAD)$. b. Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy hình chữ nhật, tam giác $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, biết $AB=a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$ bằng $a\sqrt{\frac{m}{n}}$ (với $m,n$ là hai số nguyên tố cùng nhau). Giá trị $m^2-n^2$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy hình chữ nhật, tam giác $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, biết $AB=a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$ bằng $a\sqrt{\frac{m}{n}}$ (với $m,n$ là hai số nguyên tố cùng nhau). Giá trị $m^2-2n^2$ bằng bao nhiêu?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$ và $O$, $O^{\prime }$ lần lượt là tâm của hai hình vuông $ABCD$, $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $AD$.
1) Tính khoảng cách hai đường thẳng $N{O}^{\prime }$ và đường thẳng $PQ$.
2) Gọi $M^{\prime }$, $N^{\prime }$, $P^{\prime }$, $Q^{\prime }$ lần lượt là trung điểm các cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$, $A^{\prime }{D}^{\prime }$. Khi đó một vật thể $(\alpha )$ là phần giao nhau của hai hình chóp $O.M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$, $O^{\prime }.MNPQ$. Tính thể tích vật thể $(\alpha )$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$; cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy; $SC$ hợp với đáy góc $45^o$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$.