Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy hình chữ nhật, tam giác $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, biết $AB=a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$ bằng $a\sqrt{\frac{m}{n}}$ (với $m,n$ là hai số nguyên tố cùng nhau). Giá trị $m^2-n^2$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy hình chữ nhật, tam giác $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, biết $AB=a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$ bằng $a\sqrt{\frac{m}{n}}$ (với $m,n$ là hai số nguyên tố cùng nhau). Giá trị $m^2-2n^2$ bằng bao nhiêu?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$ và $O$, $O^{\prime }$ lần lượt là tâm của hai hình vuông $ABCD$, $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $AD$.
1) Tính khoảng cách hai đường thẳng $N{O}^{\prime }$ và đường thẳng $PQ$.
2) Gọi $M^{\prime }$, $N^{\prime }$, $P^{\prime }$, $Q^{\prime }$ lần lượt là trung điểm các cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$, $A^{\prime }{D}^{\prime }$. Khi đó một vật thể $(\alpha )$ là phần giao nhau của hai hình chóp $O.M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$, $O^{\prime }.MNPQ$. Tính thể tích vật thể $(\alpha )$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$; cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy; $SC$ hợp với đáy góc $45^o$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$.

Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều, có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài 300 mét (tham khảo hình vẽ). Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu $MN$ bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh $A^{\prime }C$, điểm cuối thuộc cạnh $BC$) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 4,5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho $MN$ ngắn nhất. Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỷ đồng ? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, $AB=4a$ và $\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Gọi $H$ là trung điểm của $AO$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt{3}$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của ba cạnh $CD,BC$ và $SA$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $PN$ và $SM$ bằng $\frac{2a\sqrt{m}}{n}$. Tính $m-n$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $C$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $E$ là điểm thuộc tia $AG$ sao cho $AE=3AG$. Biết $A^{\prime }A=A^{\prime }B=15$, $AB=18$ và $AC=3\sqrt{10}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }G$ và $B^{\prime }E$.