Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng độ dài đoạn thẳng nào?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình lập phương là $a$. Chọn hệ tọa độ $A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),A^{\prime }(0,0,a),C^{\prime }(a,a,a)$. Đường thẳng $BD$ có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(-1,1,0)$, đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ có $\overrightarrow{u_2}=(1,1,0)$. Véc-tơ pháp tuyến chung $\vec{n}=\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=(0,0,-2)$. Lấy $P=B(a,0,0)\in BD$, $Q=A^{\prime }(0,0,a)\in A^{\prime }{C}^{\prime }$, khi đó $\overrightarrow{PQ}=(-a,0,a)$. Khoảng cách $$d(BD,A^{\prime }{C}^{\prime })=\frac{|\overrightarrow{PQ}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|-2a|}{2}=a.$$ Về hình học: $\vec{n}=(0,0,1)$ chính là phương thẳng đứng, tức vuông góc chung với cả $BD$ (nằm trong mặt phẳng đáy) và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ (nằm trong mặt phẳng trên), nên khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy, bằng cạnh $a=C{C}^{\prime }$. Vậy $d(BD,A^{\prime }{C}^{\prime })=C{C}^{\prime }$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 12: C). Lưu ý: không thể dùng khoảng cách từ $C^{\prime }$ đến mặt phẳng $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ vì $A^{\prime }{C}^{\prime }$ không song song mà cắt mặt phẳng đó tại tâm hình lập phương; véc-tơ vuông góc chung có phương thẳng đứng nên kết quả đúng là $a$.