Trong không gian $Oxyz$, cho ba đường thẳng $d_1:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{3}$, $d_2:\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}$; $d_3:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{2}$. Phương trình của đường thẳng song song với $d_1$ và cắt cả hai đường thẳng $d_2$ và $d_3$ là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 10. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SC=10\sqrt{5}$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $CD$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $MN$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 6. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SC=6\sqrt{5}$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $CD$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $MN$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Có hai con tàu $A,B$ xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra-đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với đơn vị trên các trục tính bằng ki-lô-mét), tại thời điểm $t$ (giờ), vị trí của tàu $A$ có tọa độ được xác định bởi công thức $$\{\begin{array}{l}x=3-33t\\ y=-4+25t\end{array}$$ ; vị trí tàu $B$ có tọa độ là $(4-30t;3-40t)$. Hỏi góc giữa hai đường đi của hai tàu $A,B$ là bao nhiêu độ? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều, có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài 300 mét (tham khảo hình vẽ). Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu $MN$ bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh $A^{\prime }C$, điểm cuối thuộc cạnh $BC$) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 4,5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho $MN$ ngắn nhất. Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỷ đồng ? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, $AB=4a$ và $\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Gọi $H$ là trung điểm của $AO$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt{3}$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của ba cạnh $CD,BC$ và $SA$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $PN$ và $SM$ bằng $\frac{2a\sqrt{m}}{n}$. Tính $m-n$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, $AB=4a$ và $\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Gọi $H$ là trung điểm của $AO$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt{3}$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của ba cạnh $CD,BC$ và $SA$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $PN$ và $SM$ bằng $\frac{2a\sqrt{m}}{n}$. Tính $m-n$.