Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z=0$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-2t\\ z=0\end{array}$. Biết rằng đường thẳng $d$ cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm $A$ và $B$. Độ dài của đoạn thẳng $AB$ bằng

Một công ty logistics sử dụng máy bay không người lái (drone) để vận chuyển hàng hóa trong khu vực đô thị thông minh. Để đảm bảo an toàn, một vùng bay hạn chế hình cầu $(S_1)$, tâm tại trạm kiểm soát trung tâm $O(0;0;0)$, có bán kính $R_1=100m$. Drone được phép hoạt động trong một vùng bay giám sát hình cầu $(S_2)$ mở rộng hơn, có cùng tâm $O$ và bán kính $R_2=60\sqrt{101}m$ (đơn vị trên các trục tọa độ là mét). Một drone di chuyển với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ kho xuất phát $M(-800;0;60)$ đến điểm giao hàng $N(800;0;60)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mỗi đơn vị trên trục có độ dài 10 km. Một trạm theo dõi được đặt ở gốc tọa độ và có thể phát hiện được các vật thể cách nó một khoảng không quá 30 km. Một vệ tinh do thám di chuyển từ vị trí $A(4;2;1)$ đến vị trí $B\left(-1;-\frac{1}{2};\frac{7}{2}\right)$ với vận tốc $80km/h$ theo một đường thẳng. Thời gian mà vệ tinh di chuyển trong phạm vi phát hiện của trạm theo dõi là bao nhiêu phút? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mỗi đơn vị trên trục có độ dài 15 km. Một trạm theo dõi được đặt ở gốc tọa độ và có thể phát hiện được các vật thể cách nó một khoảng không quá 45 km. Một vệ tinh do thám di chuyển từ vị trí $A(4;2;1)$ đến vị trí $B\left(-1;-\frac{1}{2};\frac{7}{2}\right)$ với vận tốc $80km/h$ theo một đường thẳng. Thời gian mà vệ tinh di chuyển trong phạm vi phát hiện của trạm theo dõi là bao nhiêu phút? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Các thiên thạch có đường kính lớn hơn $140m$ và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn $7500000km$ được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá $6600km$ so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính $6400km$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục là $1000km$. Một thiên thạch chuyển động thẳng đều từ $M(6;20;0)$ đến $N(-6;-12;16)$.

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0)$, mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 350 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(400;200;10)$, chuyển động theo đường thẳng đến vị trí $D(-350;50;10)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(5;-3;2)$, $B(2;1;-2)$. Gọi $M,N$ là hai điểm phân biệt thay đổi thoả mãn $BM=BN=2$ và $A,M,N$ thẳng hàng. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=2.AM+5.AN$ có dạng $7\sqrt{m}-n$ với $m,n$ là số tự nhiên. Tính giá trị $5m+n$.