Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mỗi đơn vị trên trục có độ dài 15 km. Một trạm theo dõi được đặt ở gốc tọa độ và có thể phát hiện được các vật thể cách nó một khoảng không quá 45 km. Một vệ tinh do thám di chuyển từ vị trí $A(4;2;1)$ đến vị trí $B\left(-1;-\frac{1}{2};\frac{7}{2}\right)$ với vận tốc $80km/h$ theo một đường thẳng. Thời gian mà vệ tinh di chuyển trong phạm vi phát hiện của trạm theo dõi là bao nhiêu phút? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Các thiên thạch có đường kính lớn hơn $140m$ và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn $7500000km$ được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá $6600km$ so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính $6400km$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục là $1000km$. Một thiên thạch chuyển động thẳng đều từ $M(6;20;0)$ đến $N(-6;-12;16)$.

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0)$, mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 350 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(400;200;10)$, chuyển động theo đường thẳng đến vị trí $D(-350;50;10)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(5;-3;2)$, $B(2;1;-2)$. Gọi $M,N$ là hai điểm phân biệt thay đổi thoả mãn $BM=BN=2$ và $A,M,N$ thẳng hàng. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=2.AM+5.AN$ có dạng $7\sqrt{m}-n$ với $m,n$ là số tự nhiên. Tính giá trị $5m+n$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;3;2)$ và có một tiếp tuyến là đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-1}$ có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$. Tính $T=a+b+c-d$.

Cho điểm $I(0;0;3)$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{1}$. Tìm bán kính mặt cầu $(C)$ có tâm $I$ và cắt đường thẳng $d$ tại hai điểm $A$, $B$ sao cho $AB=6$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian với tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(C):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=11$. Đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của mặt cầu $(C)$ tại điểm $A(2;1;0)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{1}$. Hãy viết phương trình đường thẳng $d$.