Các thiên thạch có đường kính lớn hơn $140m$ và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn $7500000km$ được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá $6600km$ so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính $6400km$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục là $1000km$. Một thiên thạch chuyển động thẳng đều từ $M(6;20;0)$ đến $N(-6;-12;16)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $MN$ có VTCP $\overrightarrow{MN}=(-12;-32;16)=-4(3;8;-4)$, chọn $\vec{u}=(3;8;-4)$ qua $M(6;20;0)$: $x=6+3t,y=20+8t,z=-4t$ → a) đúng. Vùng theo dõi: khoảng cách tới $O$ từ $6,4$ đến $13$ (đơn vị 1000 km). Điểm trên đường: $|P{|}^2=(6+3t{)}^2+(20+8t{)}^2+16t^2=89t^2+356t+436$. Giải $89t^2+356t+436=169\iff 89t^2+356t+267=0\iff t=-3$ hoặc $t=-1$. Với $t=-3$: $A(-3;-4;12)$ (vào trước) → b) đúng. Với $t=-1$: $B(3;12;4)$. $AB=\sqrt{6^2+16^2+(-8{)}^2}=\sqrt{356}=2\sqrt{89}\approx 18,868$ đơn vị $\approx 18868$ km $\ne 18900$ km → c) sai. $MN=4\sqrt{89}$, nên $AB/MN=1/2$; thời gian trong phạm vi theo dõi 3 phút thì thời gian $M\to N$ là 6 phút → d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=(-12;-32;16)=-4(3;8;-4)$, phương trình qua $M(6;20;0)$ với $\vec{u}=(3;8;-4)$ đúng như đề.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giải $|P(t){|}^2=13^2$ được $t=-3$ và $t=-1$; $t=-3$ cho $A(-3;-4;12)$ là vị trí vào trước.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai vị trí là $A(-3;-4;12)$ và $B(3;12;4)$; $AB=2\sqrt{89}\approx 18,868$ đơn vị $\approx 18868$ km, không phải 18900 km.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AB=2\sqrt{89}$, $MN=4\sqrt{89}$ nên $AB=\frac{1}{2}MN$; chuyển động thẳng đều nên 3 phút trong phạm vi theo dõi tương ứng 6 phút từ $M$ đến $N$.