Câu 67Học KỳChuyên đề: Góc đường mặt Oxyz • Lớp 12Vectơ pháp tuyến mặt phẳngGóc hai mặt OxyzVận dụng#secondary:M12.G02.PLANE_EQUATION.L3.NORMAL#secondary:M12.G06.PLANE_PLANE_POSITION.L3.ANGLE
Một hộp quà được gắn với hệ tọa độ như hình có cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng sao cho , , , . 
Một hộp quà được gắn với hệ tọa độ như hình có cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng sao cho , , , .
Các mệnh đề Đúng / Sai:
a)
là một vectơ pháp tuyến của .
b)
thì góc của và mặt phẳng bằng .
c)
thì góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng .
d)
thì góc của và mặt phẳng lớn nhất.
Đáp án chính thức: a:S,b:S,c:Đ,d:S
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: O=D₁(0;0;0), C₁(1;0;0), A₁(0;1;0), D(0;0;x). Hộp là hình hộp chữ nhật đáy A₁B₁C₁D₁ trong mặt phẳng z=0 với B₁(1;1;0), mặt trên ABCD trong mặt phẳng z=x với B(1;1;x), C(1;0;x).
a) Mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁) là z=0, vectơ pháp tuyến là (0;0;1). Vectơ (1;0;−1) không vuông góc với các vectơ nằm trong mặt phẳng (ví dụ C₁A₁=(−1;1;0) có tích vô hướng 1·(−1)+0+0=−1≠0). → Sai.
b) Với x=3: B₁D=(−1;−1;3), sinθ = |3|/√(1+1+9)=3/√11≈0,9045 nên θ≈64,8°≠60°. → Sai.
c) Mặt (CB₁D₁): CB₁=(0;1;−x), CD₁=(−1;0;−x), pháp tuyến n=(−x;x;1). Góc với (A₁B₁C₁D₁) (pháp tuyến (0;0;1)): cosφ = 1/√(2x²+1). Với x=√2/2: 2x²=1 nên cosφ=1/√2, φ=45°. → Đúng.
d) sinθ = x/√(x²+2) là hàm đồng biến theo x>0, nên góc không đạt giá trị lớn nhất tại x=4 (góc tiệm cận 90° khi x→∞). → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(A₁B₁C₁D₁) là mặt phẳng z=0 với pháp tuyến (0;0;1); (1;0;−1) không vuông góc với vectơ C₁A₁=(−1;1;0) nên không phải pháp tuyến.
b) (AI giải đề cho tôi)
x=3: B₁D=(−1;−1;3), sinθ=3/√11≈0,9045, θ≈64,8°≠60°.
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của (CB₁D₁) là (−x;x;1); cosφ=1/√(2x²+1)=1/√2 khi x=√2/2 nên φ=45°.
d) (AI giải đề cho tôi)
sinθ=x/√(x²+2) đồng biến, góc không đạt max tại x=4; chỉ tiệm cận 90° khi x→∞.
Thiết lập tọa độ: O=D₁(0;0;0), C₁(1;0;0), A₁(0;1;0), D(0;0;x). Hộp là hình hộp chữ nhật đáy A₁B₁C₁D₁ trong mặt phẳng z=0 với B₁(1;1;0), mặt trên ABCD trong mặt phẳng z=x với B(1;1;x), C(1;0;x).
a) Mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁) là z=0, vectơ pháp tuyến là (0;0;1). Vectơ (1;0;−1) không vuông góc với các vectơ nằm trong mặt phẳng (ví dụ C₁A₁=(−1;1;0) có tích vô hướng 1·(−1)+0+0=−1≠0). → Sai.
b) Với x=3: B₁D=(−1;−1;3), sinθ = |3|/√(1+1+9)=3/√11≈0,9045 nên θ≈64,8°≠60°. → Sai.
c) Mặt (CB₁D₁): CB₁=(0;1;−x), CD₁=(−1;0;−x), pháp tuyến n=(−x;x;1). Góc với (A₁B₁C₁D₁) (pháp tuyến (0;0;1)): cosφ = 1/√(2x²+1). Với x=√2/2: 2x²=1 nên cosφ=1/√2, φ=45°. → Đúng.
d) sinθ = x/√(x²+2) là hàm đồng biến theo x>0, nên góc không đạt giá trị lớn nhất tại x=4 (góc tiệm cận 90° khi x→∞). → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(A₁B₁C₁D₁) là mặt phẳng z=0 với pháp tuyến (0;0;1); (1;0;−1) không vuông góc với vectơ C₁A₁=(−1;1;0) nên không phải pháp tuyến.
b) (AI giải đề cho tôi)
x=3: B₁D=(−1;−1;3), sinθ=3/√11≈0,9045, θ≈64,8°≠60°.
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của (CB₁D₁) là (−x;x;1); cosφ=1/√(2x²+1)=1/√2 khi x=√2/2 nên φ=45°.
d) (AI giải đề cho tôi)
sinθ=x/√(x²+2) đồng biến, góc không đạt max tại x=4; chỉ tiệm cận 90° khi x→∞.
