Cho hàm số $y=f(x)=\frac{-2}{x+1}$ có đồ thị $(C)$ và điểm $M$ thuộc $(C)$ có hoành độ $x_0=-2$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{-2}{x+1}$, nên $f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}$ với $x\ne -1$.
a) Đúng: Theo định nghĩa đạo hàm tại $x_0=-2$: $f^{\prime }(-2)=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}$.
b) Đúng: $f^{\prime }(x)-2=0\iff \frac{2}{(x+1{)}^2}=2\iff (x+1{)}^2=1\iff x=0$ hoặc $x=-2$: hai nghiệm phân biệt.
c) Đúng: Hệ số góc của tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_0=-2$ chính là $k=f^{\prime }(-2)$.
d) Sai: $f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ chỉ với $x\ne -1$; tại $x=-1$ hàm số không xác định nên không có đạo hàm, do đó khẳng định '$f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$' là sai. Kết quả Đ-Đ-Đ-S khớp với bảng đáp án mã đề 0102, câu 14.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định nghĩa đạo hàm: $f^{\prime }(-2)=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}=2\iff (x+1{)}^2=1\iff x=0$ hoặc $x=-2$: hai nghiệm phân biệt.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc tiếp tuyến tại $M$ (hoành độ $x_0=-2$) bằng $f^{\prime }(-2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ chỉ với $x\ne -1$; tại $x=-1$ hàm không xác định nên mệnh đề sai.