Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hình chiếu vuông góc (Toán học Lớp 11)

Đáp án mã đề 1014: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Do đó $BC\perp (SAB)$ (cùng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Vậy hình chiếu vuông góc của $C$ trên mặt phẳng $(SAB)$ là điểm $B$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Do đó $BC\perp (SAB)$ (vì $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Hình chiếu vuông góc của $C$ trên $(SAB)$ là giao của đường thẳng qua $C$ vuông góc với $(SAB)$, tức đường thẳng $CB$, với mặt phẳng $(SAB)$, chính là điểm $B$. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB\perp BC$. Từ đó $BC\perp (SAB)$ (vì $BC$ vuông với hai đường thẳng cắt $SA$ và $AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Hình chiếu của $C$ lên $(SAB)$ là $B$, còn $S$ thuộc $(SAB)$. Vậy hình chiếu của $SC$ lên $(SAB)$ là $SB$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC\perp AB$. Từ đó $BC\perp (SAB)$ (vì $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Suy ra hình chiếu của $B$ trên $(SAB)$ là $B$ (vì $B\in (SAB)$), hình chiếu của $C$ trên $(SAB)$ là $B$. Vậy hình chiếu của $SC$ lên $(SAB)$ là $SB$. Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Mặt khác $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Vì $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$. Do đó hình chiếu vuông góc của $C$ trên $(SAB)$ là giao điểm của đường thẳng $BC$ với mặt phẳng $(SAB)$, chính là điểm $B$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 3267, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABC$ vuông tại $B$ nên $CB\perp AB$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp CB$. Do đó $CB\perp (SAB)$ (vì $CB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Vậy hình chiếu vuông góc của $C$ trên mặt phẳng $(SAB)$ là điểm $B$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$ (D đúng). Đáy là hình vuông nên $BC\perp AB$ (C đúng). Từ đó $BC\perp (SAB)$, mà $AM\subset (SAB)$ nên $BC\perp AM$ (B đúng). Do đó khẳng định sai là $AC\perp AM$: nếu $AC\perp AM$ với $AM\perp SB$ thì $AC\perp (SAB)$, suy ra $AC\perp AB$, mâu thuẫn vì $ABCD$ là hình vuông ($AC$ là đường chéo, không vuông góc $AB$). Đáp án khớp với mã đề 1354: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng đáy. Do đó hình chiếu của $C$ (thuộc mặt phẳng đáy) và $S$ lên $(ABC)$ lần lượt là $C$ và $A$, tức hình chiếu vuông góc của $SC$ trên $(ABC)$ là $CA$. Khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ trên mặt đáy. Do đó hình chiếu vuông góc của $SC$ trên mặt đáy là đoạn $AC$ (hình chiếu của $C$ là chính nó). Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên mặt đáy. Điểm $C$ nằm trên mặt đáy nên hình chiếu của $C$ là chính nó. Do đó hình chiếu của $SC$ lên mặt đáy là đoạn $AC$. Khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên mặt đáy. Điểm $C$ nằm trên mặt đáy nên hình chiếu của $C$ là chính nó. Do đó hình chiếu của $SC$ lên mặt đáy là đoạn $AC$. Khớp với đáp án nguồn (Câu 8, Mã đề 101: B).

Ta có $BC\perp AB$ (Vì $ABC$ vuông tại $B$) (1)

$BC\perp SA$ (Vì $SA\perp (ABC)$) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BC\perp (SAB)$.

Ta có $AH\perp SB$ (theo giả thiết) (3)

$$\{\begin{array}{l}BC\perp (SAB)\\ AH\in (SAB)\end{array}\Rightarrow BC\perp AH(4)$$

Từ (3) và (4) suy ra $AH\perp (SBC)\Rightarrow AH\perp HC$ hay tam giác $AHC$ vuông tại $H$.

Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao nên $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{4}{3a^2}\Rightarrow A{H}^2=\frac{3a^2}{4}$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=2a^2$.

Do đó $HC=\sqrt{A{C}^2-A{H}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Ta có $BC\perp AB$ (Vì $ABC$ vuông tại $B$) (1)

$BC\perp SA$ (Vì $SA\perp (ABC)$) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BC\perp (SAB)$.

Ta có $AH\perp SB$ (theo giả thiết) (3)

$$\{\begin{array}{l}BC\perp (SAB)\\ AH\in (SAB)\end{array}\Rightarrow BC\perp AH(4)$$

Từ (3) và (4) suy ra $AH\perp (SBC)\Rightarrow AH\perp HC$ hay tam giác $AHC$ vuông tại $H$.

Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao nên $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{4}{3a^2}\Rightarrow A{H}^2=\frac{3a^2}{4}$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=2a^2$.

Do đó $HC=\sqrt{A{C}^2-A{H}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Mặt khác $H$ là hình chiếu của $S$ lên $BC$ nên $SH\perp BC$. Từ đó $BC\perp (SAH)$, suy ra $BC\perp AH$ (vì $AH\subset (SAH)$). Các khẳng định $BC\perp SC$, $BC\perp AB$, $BC\perp AC$ chỉ đúng khi tam giác đáy tương ứng vuông tại $C$, $B$, $C$, điều này không được giả thiết (đáy là tam giác không vuông). Vậy khẳng định đúng là B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $A$, hình chiếu của $B$ là $B$, do đó hình chiếu của $SB$ là $AB$ → a) Đúng. Vì $BC\perp AB$ (đáy hình vuông) và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)$, mà $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$ → b) Đúng. Thể tích $S.ABC$: $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}\ne a^3\sqrt{2}$ → c) Sai. Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là góc $SCA$: $\tan \angle SCA=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1$ nên góc bằng $45^{\circ }\ne 60^{\circ }$ → d) Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1012 câu 14: Đ, Đ, S, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)$ nên $S$ hình chiếu lên $(ABCD)$ tại $A$; hình chiếu của $B$ là $B$. Vậy hình chiếu của $SB$ là $AB$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$) nên $BC\perp (SAB)$. Vì $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$, không bằng $a^3\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\angle SCA$ với $\tan \angle SCA=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1$, suy ra góc bằng $45^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ trên $(ABCD)$. Điểm $D$ thuộc $(ABCD)$ nên hình chiếu của $D$ là chính nó. Do đó hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SD$ lên $(ABCD)$ là đường thẳng đi qua hình chiếu của hai điểm $S$ và $D$, tức là đường thẳng $AD$. Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$. Hình chiếu của $B$ lên $(ABCD)$ là chính $B$ (vì $B\in (ABCD)$). Do đó hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SB$ lên $(ABCD)$ là đường thẳng đi qua hình chiếu của $S$ (là $A$) và hình chiếu của $B$ (là $B$), tức là đường thẳng $AB$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 111, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy, nên $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$. Do đó hình chiếu vuông góc của $C^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABC)$ chính là điểm $C$. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy $(ABC)$, do đó $B{B}^{\prime }\perp (ABC)$. Hình chiếu vuông góc của $B^{\prime }$ trên $(ABC)$ là giao điểm của đường thẳng $B{B}^{\prime }$ với $(ABC)$, tức là điểm $B$. Đáp án B, trùng với đáp án của đề (mã 101, Câu 5 = B).