Trong không gian, cho đường thẳng $d$ và điểm $O$. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $d$?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$, $SA\perp (ABC)$. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của điểm $A$ trên cạnh $SB$ và $SC$. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

Đặt $a={\log }_{2}3$, $b={\log }_{5}3$. Nếu biểu diễn ${\log }_{6}45=\frac{a(m+nb)}{b(a+p)}$ thì $m+n+p$ bằng:

Cho $a>0,m,n\in \mathbb{R}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}(4x-9)>{\log }_{\frac{1}{2}}(x+10)$ là

Trong không gian cho đường thẳng $a$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$, đường thẳng $a$ được gọi là vuông góc mặt phẳng $(P)$ nếu

Rút gọn biểu thức $\frac{a^{\sqrt{2}+1}.a^{2-\sqrt{2}}}{a^2},(a>0)$ ta được kết quả là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2a$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=2\sqrt{3}a$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Trong một phòng thí nghiệm, người ta nuôi một loại vi khuẩn. Lúc đầu có 300 con vi khuẩn. Sau một giờ, số vi khuẩn là 705 con. Số lượng vi khuẩn sau $x$ giờ là $f(x)=C\cdot e^{kx}$. Hỏi sau ít nhất bao lâu số vi khuẩn sẽ vượt 10000 con? (đơn vị giờ, kết quả phép tính đến phần trăm).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $BC$. Tính giá trị $\cos (IJ,CD)$?

Ông An gửi vào ngân hàng 200 triệu đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất ngân hàng là 6\%/năm. Giả sử qua các năm thì lãi suất không thay đổi và ông An không gửi thêm tiền vào mỗi năm. Hỏi sau 3 năm ông An có số tiền cả gốc và lãi bằng bao nhiêu triệu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Cho ${\log }_{2}12=2+a.{\log }_{2}3$. Tính $a$ ?

Rút gọn biểu thức $A=\frac{\sqrt[3]{a^5}.a^{\frac{7}{3}}}{a^4.a^{-2}}$ với $a>0$.

Với mọi số thực $a$ dương khác 1, tính ${\log }_a\sqrt[3]{a}$ ?

Giải phương trình ${\log }_3\left(x^2+4x\right)+{\log }_{\frac{1}{3}}\left(2x+3\right)=0$.

Cho hàm số $y={\log }_{2026-2a}x$ với $a$ là tham số. Có bao nhiêu số tự nhiên $a$ để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ ?

Năm 2025, một hãng công nghệ có 31 triệu người dùng phần mềm của họ. Hãng đặt kế hoạch, trong 3 năm tiếp theo, mỗi năm số lượng người dùng phần mềm tăng 8\% so với năm trước đó và từ năm thứ 4 trở đi, số lượng người dùng phần mềm sẽ tăng 5\% so với năm trước đó. Theo kế hoạch đó, hỏi bắt đầu từ năm nào thì số lượng người dùng phần mềm của hãng sẽ vượt quá 57 triệu người? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$. Biết $SA=a\sqrt{3},AB=a$. Tính độ dài đoạn thẳng $HC$ theo $a$.