Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Cấp Trường Toán 11 2025-2026 - Đề Số 2

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác không vuông, $SA\perp (ABC)$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $BC$. Hãy chọn khẳng định đúng.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thap với đáy lớn $AD$, $AD=2BC$. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $SD$ sao cho $MD=2MS$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. $OM$ song song với mặt phẳng

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=2$, công bội dương và biểu thức $u_4+\frac{1024}{u_7}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $S=u_{11}+u_{12}+\dots +u_{20}$.

Để vận chuyển hàng hóa từ điểm $B$ đến điểm $E$ trong một khu vực đồi núi, do địa hình hiểm trở đường đi hiện tại phải vòng qua núi, qua các điểm $C$ và $D$ với các số liệu như mô hình trong hình vẽ dưới. Một dự án đang xem xét việc xây dựng một tuyến đường hầm nối thẳng trực tiếp $B$ đến $E$ để rút ngắn quãng đường vận chuyển. Hỏi chiều dài đường hầm từ $B$ đến $E$ dài bao nhiêu km (làm tròn đến hàng phần mười)?

Một hộp đựng 7 quả cầu màu trắng và 3 quả cầu màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 quả cầu. Tính xác suất để trong 4 quả cầu lấy được có đúng 2 quả cầu màu đỏ.

Tính tổng các nghiệm của phương trình $2\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\sqrt{2}$ trên $\left(-\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$

Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)<{\log }_{\frac{1}{2}}(2x-1)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$, $SA\perp (ABCD)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $BD$ và $K$ là hình chiếu của $A$ lên $SD$. Góc phẳng nhị diện $[S,BD,A]$ là

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ nằm trong khoảng $(-2026;2026)$ để hàm số $y=\frac{2026}{m{\log }_3^{2}x-4{\log }_{3}x+m+3}$ xác định trên khoảng $(0;+\infty )$

Điểm thi môn Toán (thang điểm 100, điểm được làm tròn đến 1) của 60 thí sinh được cho trong bảng sau:

Mốt của mẫu số liệu trên bảng

Cho tứ diện $ABCD$, $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$, $M$ là trung điểm $CD$, $I$ là điểm trên đoạn thẳng $AG$, $BI$ cắt mặt phẳng $(ACD)$ tại $J$. Khẳng định nào sau đây sai?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt đáy là trung điểm $M$ của cạnh $AD$, $SM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính $\sin$ của góc giữa $SN$ và mặt phẳng $(SBM)$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$. Biết $SB=a\sqrt{3}$. Khi đó:

Cho hai hàm số $f(x)=\sin x$; $g(x)=\sin 3x$.

Cho tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh bằng $a$. Nối các trung điểm $A_1$, $B_1$, $C_1$ của các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ ta được tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1$. Tiếp tục nối các trung điểm $A_2$, $B_2$, $C_2$ của các cạnh $B_1{C}_1$, $C_1{A}_1$, $A_1{B}_1$ ta được tam giác đều $A_2{B}_2{C}_2$, thực hiện quá trình này đến vô hạn. Gọi $p_1,p_2,\dots ,p_n,\dots$ và $S_1,S_2,\dots ,S_n,\dots$ theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác $ABC,A_1{B}_1{C}_1,\dots ,A_n{B}_n{C}_n,\dots$.

Cường độ một trận động đất được đo bằng thang Richter, định nghĩa bởi công thức $M=\log \left(\frac{I}{I_0}\right)$, trong đó $I$ là cường độ của trận động đất và $I_0$ là cường độ của một trận động đất chuẩn (ngưỡng tham chiếu).

Để tích lũy tiền cho việc học đại học của con gái, cô Thảo quyết định hằng tháng bỏ ra 500 nghìn đồng vào tài khoản tiết kiệm, được trả lãi $0,5\%$ cộng dồn hằng tháng. Cô bắt đầu chương trình tích luỹ này ngay tháng đầu tiên sau khi con gái cô tròn 4 tuổi. Cô ấy sẽ tích luỹ được số tiền $m$ triệu đồng vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180 ($m$ làm tròn đến hàng đơn vị) và lúc này con gái cô Thảo là $n$ tuổi. Tính $m+n$?

Bác Nam có một mảnh đất hình tứ giác $ABCD$ với $AB=8,2m;BC=14,5m;CD=9,7m;AD=16,4m$. Để tính diện tích mảnh đất, cháu của bác Nam lấy hai điểm $M,N$ nằm trên hai cạnh $AB,AD$ sao cho $AM=1m;AN=1m$, sau đó bác Nam dùng thước dây đo được $MN=1,6m$. Tính diện tích mảnh đất $ABCD$ (đơn vị $m^2$ và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=1;AD=\sqrt{3}$. Cạnh bên $SA=2$ và vuông góc với đáy. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $A$ vuông góc với $SC$. Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $(\alpha )$ với hình chóp đã cho. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Trên một ô lưới hình chữ nhật gồm 9 cột và 5 hàng ô vuông như hình vẽ. Một bé cún xuất phát từ điểm $A$ và chạy đến điểm $B$. Mỗi bước, bé cún chỉ được chạy sang phải hoặc xuống dưới đúng 1 ô (đi theo các cạnh của ô vuông), vì vậy bé cún luôn đi theo đường ngắn nhất. Trong hình có phần tô đậm $CDEG$ và $GHIK$ là những bãi bùn. Bé cún không được chạy vào miền trong của các vùng tô đậm đó, nhưng vẫn được phép chạy trên đường biên của chúng. Hỏi bé cún có bao nhiêu cách chạy từ $A$ đến $B$?

Doanh thu bán hàng trong 30 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Gọi $Q_1;Q_2;Q_3$ là tứ phân vị của mẫu số liệu. Tính giá trị biểu thức $P=9Q_1-11Q_2+6Q_3$

Một nhà máy sản xuất hai loại mũ. Thời gian để sản xuất một chiếc mũ loại thứ nhất gấp đôi thời gian để sản xuất một chiếc mũ loại thứ hai. Nếu chỉ sản xuất mũ loại thứ hai, nhà máy có thể sản xuất được 500 chiếc mỗi ngày. Mỗi ngày, thị trường chỉ tiêu thụ được tối đa 150 chiếc mũ loại thứ nhất và 200 chiếc mũ loại thứ hai. Lợi nhuận từ mỗi chiếc mũ loại thứ nhất là 8 USD, và mỗi chiếc mũ loại thứ hai là 5 USD. Gọi $m,n$ lần lượt là số chiếc mũ mỗi loại mà mỗi ngày nhà máy cần sản xuất để đạt được lợi nhuận tối đa. Giá trị $m+n$ bằng bao nhiêu? Biết rằng các sản phẩm sản xuất ra đều bán hết.