Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm số cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{\sqrt{2x-4}}{x^2-9}$ xác định khi $2x-4\ge 0\iff x\ge 2$ và $x^2-9\ne 0\iff x\ne \pm 3$. Vì $x\ge 2$ nên chỉ loại $x=3$ (không cần loại $x=-3$ vì $-3<2$). Vậy $D=[2;+\infty )\setminus \{3\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, giá trị lớn nhất của hàm số là $y=2$ (khi $x\in [0;1]$) và giá trị nhỏ nhất là $y=-1$ (khi $x=4$). Đồ thị liên tục trên $[-1;4]$ nên tập giá trị là $[-1;2]$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{|x|}{\sqrt{25-5x}}$ xác định khi và chỉ khi biểu thức dưới căn dương: $25-5x>0\iff 5x<25\iff x<5$. Vậy tập xác định của hàm số là $D=(-\infty ;5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x^2-4x+3}$ xác định khi mẫu khác 0: $x^2-4x+3\ne 0$. Phương trình $x^2-4x+3=0$ có nghiệm $x=1$ hoặc $x=3$ (vì $1+3=4$, $1\cdot 3=3$). Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1;3\}$, trùng với đáp án C (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: theo bảng, giá bán điện bậc 2 (từ 51 đến 100 kWh) là 1956 đồng/kWh, không phải 3849 đồng/kWh.
b) Sai: giá bán điện theo bậc tăng dần (1893 < 1956 < 2271 < 2860 < 3197 < 3392), tức càng dùng nhiều điện, giá mỗi kWh bậc sau càng cao.
c) Đúng: với 51 ≤ x ≤ 100, tiền phải trả gồm 50 kWh bậc 1 và phần còn lại bậc 2: y = 50·1893 + (x − 50)·1956 = 94650 + 1956x − 97800 = 1956x − 3150 (đồng).
d) Đúng: với x = 80, y = 1956·80 − 3150 = 156480 − 3150 = 153330 (đồng). Kết quả trùng với đáp án nguồn (câu 14: c, d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo bảng 1, giá bán điện từ 51 đến 100 kWh là 1956 đồng/kWh, không phải 3849 đồng/kWh.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá bán điện theo bậc tăng dần: 1893 < 1956 < 2271 < 2860 < 3197 < 3392, nên càng dùng nhiều điện, giá bán điện càng tăng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với 51 ≤ x ≤ 100: y = 50·1893 + (x − 50)·1956 = 94650 + 1956x − 97800 = 1956x − 3150 (đồng).
d) (AI giải đề cho tôi)
Với x = 80: y = 1956·80 − 3150 = 156480 − 3150 = 153330 (đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}$ xác định khi mẫu số khác 0, tức $x-1\ne 0\iff x\ne 1$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Khớp với đáp án D (mã đề 1002, Câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{x+7}+\frac{2}{\sqrt{15-x}}$ xác định khi $x+7\ge 0$ và $15-x>0$, tức $-7\le x<15$. Vậy tập xác định là nửa khoảng $[-7;15)$ với $a=-7$, $b=15$, suy ra $ab=(-7)(15)=-105$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 1: -105).

Câu 1a. Điều kiện xác định của hàm số là $\{\begin{array}{l}x+2\ne 0\\ 1-x\ge 0\end{array}$ (0.25 điểm). Giải đúng điều kiện $\{\begin{array}{l}x\ne -2\\ x\le 1\end{array}$. TXĐ $D=(-\infty ;1]\setminus \{-2\}$ (0.25 điểm).

Câu 1b. Hàm số Parabol $(P):y=x^2-4x$. Tọa độ đỉnh của $(P)$ là $I(2;-4)$. Trục đối xứng của $(P)$ là đường thẳng d: $x=2$. $(P)$ cắt trục tung tại gốc tọa độ O(0;0). $(P)$ cắt trục hoành tại tọa độ O(0;0) và B(4;0) (0.5 điểm).

Đồ thị hàm số (0.5 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{x+7}+\frac{2}{\sqrt{15-x}}$ xác định khi $x+7\ge 0$ và $15-x>0$, tức $-7\le x<15$. Vậy tập xác định là $[-7;15)$, nên $a=-7$, $b=15$, do đó $ab=-7\cdot 15=-105$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-105).

Câu 1a. Điều kiện xác định của hàm số là $\{\begin{array}{l}x+2\ne 0\\ 1-x\ge 0\end{array}$ (0.25 điểm). Giải đúng điều kiện $\{\begin{array}{l}x\ne -2\\ x\le 1\end{array}$. TXĐ $D=(-\infty ;1]\setminus \{-2\}$ (0.25 điểm).

Câu 1b. Hàm số Parabol $(P):y=x^2-4x$. Tọa độ đỉnh của $(P)$ là $I(2;-4)$. Trục đối xứng của $(P)$ là đường thẳng d: $x=2$. $(P)$ cắt trục tung tại gốc tọa độ O(0;0). $(P)$ cắt trục hoành tại tọa độ O(0;0) và B(4;0) (0.5 điểm).

Đồ thị hàm số (0.5 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}$ xác định khi mẫu số khác 0, tức $x-1\ne 0\iff x\ne 1$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 8, Mã đề 1001: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{x+2}-\sqrt{x+3}$ xác định khi $x+2\ge 0$ và $x+3\ge 0$, tức $x\ge -2$ và $x\ge -3$. Giao của hai điều kiện là $x\ge -2$. Vậy $D=[-2;+\infty )$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $15<x\le 25$: 8 phút đầu giá 5000 đ/phút, 7 phút tiếp theo (phút 9 đến 15) giá 5500 đ/phút, các phút từ 16 đến $x$ giá 6000 đ/phút. Số tiền phải trả (đồng): $y=8\cdot 5000+7\cdot 5500+(x-15)\cdot 6000=40000+38500+6000x-90000=6000x-11500$. Đổi ra nghìn đồng: $y=6x-11,5$, vậy $a=6$, $b=-11,5$, nên $a+b=-5,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2.

a) Với $a=x^2+2026,b=y^2+2026$ ($1\le y<x\le n$) ta có $a-b=x^2-y^2$. Vậy $T_n={\prod }_{1\le j<i\le n}(i^2-j^2)$. Do $i,j\le 28<29$ và $i\ne j$, ta có $29\mid i^2-j^2⟺i^2\equiv j^2(\mathrm{mod}29)⟺i\equiv \pm j(\mathrm{mod}29)⟺i+j=29$ (vì $0<i,j<29$). Do đó $T_n⋮29$ khi và chỉ khi tồn tại cặp $1\le j<i\le n$ với $i+j=29$, tức là khi $n\ge 15$ (cặp $14,15$). Với $n=14$, mọi cặp $i,j\le 14$ có $i+j\le 27<29$ nên $29\nmid T_{14}$. Vậy $n$ nhỏ nhất là $n=15$ (thật vậy $15^2-14^2=29$ là thừa số của $T_{15}$).

b) Phương trình đã cho tương đương
$$(x-2)(x-4)P(x)=x(x+2)P(x-2)(\star )$$
với mọi $x\in \mathbb{R}$, và đây là đồng nhất thức đa thức.

Tìm nghiệm: thay $x=2$ suy ra $8P(0)=0\Rightarrow P(0)=0$; thay $x=4$ suy ra $24P(2)=0\Rightarrow P(2)=0$; thay $x=-2$ suy ra $24P(-2)=0\Rightarrow P(-2)=0$.

Lan truyền nghiệm: nếu $P(\alpha )=0$ với $\alpha \ne 0,-2$ thì từ $(\star )$ tại $x=\alpha$ suy ra $P(\alpha -2)=0$; nếu $P(\alpha )=0$ với $\alpha \ne 0,2$ thì từ $(\star )$ tại $x=\alpha +2$ suy ra $P(\alpha +2)=0$. Vì $P$ chỉ có hữu hạn nghiệm, mọi nghiệm $\alpha$ phải là số nguyên chẵn thuộc $\{-2,0,2\}$ (chuỗi $\alpha ,\alpha -2,\dots$ phải dừng ở $0$ hoặc $-2$, chuỗi $\alpha ,\alpha +2,\dots$ phải dừng ở $0$ hoặc $2$).

Vậy $P(x)=c{x}^a(x-2{)}^b(x+2{)}^d$ với $a,b,d\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Khi đó $P(x-2)=c(x-2{)}^a(x-4{)}^b{x}^d$, thay vào $(\star )$:
$$x^a(x-2{)}^{b+1}(x-4)(x+2{)}^d=x^{d+1}(x+2)(x-2{)}^a(x-4{)}^b.$$
So sánh số mũ: $\{\begin{array}{l}a=d+1\\ b+1=a\\ 1=b\\ d=1\end{array}\Rightarrow b=d=1,a=2$.

Thử lại: với $P(x)=c{x}^2(x-2)(x+2)$ thì $P(x-2)=c(x-2{)}^2\cdot x(x-4)$, và
$$(x-2)(x-4)P(x)=c{x}^2(x-2{)}^2(x-4)(x+2)=x(x+2)P(x-2).$$
Vậy tất cả các đa thức thỏa mãn là $P(x)=c{x}^2(x-2)(x+2)=c(x^4-4x^2)$, với $c$ là hằng số thực tùy ý (kể cả $c=0$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{x-3}$ xác định khi $x-3\ge 0$, tức $x\ge 3$. Vậy tập xác định là $[3;+\infty )$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ xác định khi mẫu số khác 0, tức $x-1\ne 0\iff x\ne 1$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Chọn đáp án C.

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-5x+4\ne 0\\ x-2\ge 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x\ne 4\\ x\ge 2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\ne 4\\ x\ge 2\end{array}$$ TXĐ $D=[2;+\infty )\setminus \{4\}$. (0.25 x 3; 0.25)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-3}{2x-2}$ xác định khi mẫu số khác 0: $2x-2\ne 0\iff x\ne 1$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, trùng với đáp án A (mã đề 1020, câu 2).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-3}{2x-2}$ xác định khi mẫu khác 0: $2x-2\ne 0\iff x\ne 1$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, trùng với đáp án D (khớp bảng đáp án mã đề 1010, câu 11 là D).

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-5x+4\ne 0\\ x-2\ge 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x\ne 4\\ x\ge 2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\ne 4\\ x\ge 2\end{array}$$ TXĐ $D=[2;+\infty )\setminus \{4\}$. (0.25 x 3; 0.25)