a) Ứng với mỗi số nguyên dương $2\le n\le 28$, đặt

$$S_n=\left\{x^2+2026|x=\overline{1,n}\right\}\text{ vaˋ }{T}_n=\prod _{\begin{array}{c}a,b\in S_n\\ a>b\end{array}}(a-b).$$

Tìm $n$ nhỏ nhất để $T_n⋮29$.

b) Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn

$$\left(x^2-6x+8\right)P(x)=\left(x^2+2x\right)P(x-2),\forall x\in \mathbb{R}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2.

a) Với $a=x^2+2026,b=y^2+2026$ ($1\le y<x\le n$) ta có $a-b=x^2-y^2$. Vậy $T_n={\prod }_{1\le j<i\le n}(i^2-j^2)$. Do $i,j\le 28<29$ và $i\ne j$, ta có $29\mid i^2-j^2⟺i^2\equiv j^2(\mathrm{mod}29)⟺i\equiv \pm j(\mathrm{mod}29)⟺i+j=29$ (vì $0<i,j<29$). Do đó $T_n⋮29$ khi và chỉ khi tồn tại cặp $1\le j<i\le n$ với $i+j=29$, tức là khi $n\ge 15$ (cặp $14,15$). Với $n=14$, mọi cặp $i,j\le 14$ có $i+j\le 27<29$ nên $29\nmid T_{14}$. Vậy $n$ nhỏ nhất là $n=15$ (thật vậy $15^2-14^2=29$ là thừa số của $T_{15}$).

b) Phương trình đã cho tương đương
$$(x-2)(x-4)P(x)=x(x+2)P(x-2)(\star )$$
với mọi $x\in \mathbb{R}$, và đây là đồng nhất thức đa thức.

Tìm nghiệm: thay $x=2$ suy ra $8P(0)=0\Rightarrow P(0)=0$; thay $x=4$ suy ra $24P(2)=0\Rightarrow P(2)=0$; thay $x=-2$ suy ra $24P(-2)=0\Rightarrow P(-2)=0$.

Lan truyền nghiệm: nếu $P(\alpha )=0$ với $\alpha \ne 0,-2$ thì từ $(\star )$ tại $x=\alpha$ suy ra $P(\alpha -2)=0$; nếu $P(\alpha )=0$ với $\alpha \ne 0,2$ thì từ $(\star )$ tại $x=\alpha +2$ suy ra $P(\alpha +2)=0$. Vì $P$ chỉ có hữu hạn nghiệm, mọi nghiệm $\alpha$ phải là số nguyên chẵn thuộc $\{-2,0,2\}$ (chuỗi $\alpha ,\alpha -2,\dots$ phải dừng ở $0$ hoặc $-2$, chuỗi $\alpha ,\alpha +2,\dots$ phải dừng ở $0$ hoặc $2$).

Vậy $P(x)=c{x}^a(x-2{)}^b(x+2{)}^d$ với $a,b,d\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Khi đó $P(x-2)=c(x-2{)}^a(x-4{)}^b{x}^d$, thay vào $(\star )$:
$$x^a(x-2{)}^{b+1}(x-4)(x+2{)}^d=x^{d+1}(x+2)(x-2{)}^a(x-4{)}^b.$$
So sánh số mũ: $\{\begin{array}{l}a=d+1\\ b+1=a\\ 1=b\\ d=1\end{array}\Rightarrow b=d=1,a=2$.

Thử lại: với $P(x)=c{x}^2(x-2)(x+2)$ thì $P(x-2)=c(x-2{)}^2\cdot x(x-4)$, và
$$(x-2)(x-4)P(x)=c{x}^2(x-2{)}^2(x-4)(x+2)=x(x+2)P(x-2).$$
Vậy tất cả các đa thức thỏa mãn là $P(x)=c{x}^2(x-2)(x+2)=c(x^4-4x^2)$, với $c$ là hằng số thực tùy ý (kể cả $c=0$).