Xét hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ thỏa mãn điều kiện

$$(m+n):(f(m)+f(n)),\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

a) Tính $f(3)$.

b) Tìm tất cả các hàm số $f$ thỏa mãn điều kiện trên.

Chứng minh rằng, có thể sắp tất cả các tập con của tập $S=\{1;2;3;\cdots ;2027\}$ thành một dãy sao cho mỗi cặp gồm hai tập con kề nhau bất kỳ chỉ sai khác đúng một phần tử (tức là một tập thu được từ tập kia bằng cách thêm hoặc bớt một phần tử nào đó).

Cho hai dãy số $(a_n)$, $(b_n)$ xác định như sau:
$a_0=1,a_1=1$, $a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n$, $\forall n\in \mathbb{N}$ và $b_0=0$, $b_1=1$, $b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n$, $\forall n\in \mathbb{N}$.
Chứng minh rằng, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ thì
a) $a_n+b_n\sqrt{2}=(1+\sqrt{2}{)}^n$ và cặp số $a_n,b_n$ nguyên tố cùng nhau.
b) $\frac{b_{4n}}{2}$ là số nguyên nhưng không là số chính phương.

(4,00 điểm)
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=-2$ và $u_{n+1}=\frac{u_n}{1-u_n}$, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
a) Chứng minh $u_n<0$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
b) Đặt $v_n=\frac{u_n+1}{u_n}$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Chứng minh $(v_n)$ là cấp số cộng và tính $\lim u_n$.

Một chuyên gia ẩm thực cần đưa ra đánh giá về $n$ nhà hàng trong thành phố, trong đó $n$ là một số nguyên dương. Mỗi cặp nhà hàng được vị chuyên gia so sánh với nhau theo hai tiêu chí: độ ngon của món ăn và chất lượng phục vụ. Với một số cặp nhà hàng, vị chuyên gia không thể quyết định nhà hàng nào tốt hơn nhà hàng còn lại trong một tiêu chí nào đó, nhưng điều này không xảy ra đồng thời ở cả hai tiêu chí. Ngoài ra, nếu vị chuyên gia cho rằng nhà hàng $A$ tốt hơn nhà hàng $B$ ở một tiêu chí nào đó, và đồng thời cho rằng nhà hàng $B$ tốt hơn nhà hàng $C$ trong cùng tiêu chí đó, thì ông ta cũng đánh giá rằng nhà hàng $A$ tốt hơn nhà hàng $C$ trong tiêu chí ấy.

Chứng minh rằng tồn tại một nhà hàng $R$ sao cho mọi nhà hàng khác đều bị vị chuyên gia đánh giá kém hơn nhà hàng $R$ trong ít nhất một tiêu chí.